В данной статье представлен подробный пример решения задачи по теоретической механике. Рассматривается определение коэффициентов уравнения движения груза на основе начальных условий (координаты и скорости), а также расчет кинематических характеристик (скорости и ускорения) для груза и точки М, принадлежащей передаточному механизму. Приведены пошаговые математические выкладки, формулы и итоговая таблица с результатами вычислений для заданного момента времени.
Пример выполнения задания 8
Дано: Определить коэффициенты c0, c1 и c2 уравнения движения:
x = c0 + c1t + c2t2
при которых осуществляется требуемое движение груза 1 (рис. 2.33). В начальный момент времени (t0=0) координата груза равна x0=0,14 м, а его начальная скорость – V0=0,05 м/с. В момент времени t2=2 с положение груза 1 задано координатой x2=1,68 м.
Определить в момент времени t1=1 с скорость и ускорение груза 1 и точки М, принадлежащей колесу 3, учитывая, что R2=0,5 м; r2=0,25 м; R3=0,65 м; r3=0,4 м.
Рисунок 2.33 – Схема к примеру решения задания 2.3
Решение
Уравнение движения груза 1 имеет вид:
x = c0 + c1t + c2t2
где коэффициенты c0, c1 и c2 определяются из начальных условий:
- при t0=0: x0=0,14 м, V0=0,05 м/с
- при t2=2 с: x2=1,68 м
Определим скорость груза 1, взяв первую производную от уравнения движения по времени:
v = dx/dt = c1 + 2c2t
Подставляя начальное условие (при t0=0, V0=0,05 м/с), определим коэффициент c1:
0,05 = c1 + 2c2 · 0 => c1 = 0,05 м/с
Подставляя начальное условие (при t0=0, x0=0,14 м), определим коэффициент c0:
0,14 = c0 + c1 · 0 + c2 · 0 => c0 = 0,14 м
Подставляя начальное условие (при t2=2 с, x2=1,68 м), определим коэффициент c2:
1,68 = 0,14 + 0,05 · 2 + c2 · 22 => c2 = 0,36 м/с2
Таким образом, уравнение движения груза 1 в окончательном виде будет иметь вид:
x = 0,14 + 0,05t + 0,36t2
а выражение для скорости груза 1:
v = dx/dt = 0,05 + 0,72t
Определим ускорение груза 1, как первую производную от скорости:
a = dv/dt = 0,72 м/с2
Определение характеристик точки М
Для определения скорости и ускорения точки М запишем выражения, связывающие скорость груза 1 и угловые скорости колёс ω2 и ω3 (рис. 2.34). В соответствии со схемой передаточного механизма:
ω2 = v/r2; ω3 = ω2 · (R2/R3)
откуда
ω3 = v · (R2 / (r2 · R3)) = v · 3,07
Рисунок 2.34 – Пример решения задания 2.3
Учитывая, что v = 0,05 + 0,72t, получим выражение для угловой скорости колеса 3:
ω3 = 2,22t + 0,15
Угловое ускорение колеса 3 найдём как первую производную от угловой скорости:
ε3 = dω3/dt = 2,22 рад/с2
Определим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М, лежащей на внутреннем ободе колеса 3:
vM = ω3 · r3 = (2,22t + 0,15) · r3
aτM = ε3 · r3 = 0,89 м/с2
anM = ω32 · r3 = (2,22t + 0,15)2 · r3
aM = √(anM2 + aτM2)
Результаты вычислений кинематических характеристик движения точки М для заданного момента времени t1=1 с представим в виде таблицы.
| v, м/с | a, м/с2 | ω3, рад/с | ε3, рад/с2 | vM, м/с | anM, м/с2 | aτM, м/с2 | aM, м/с2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,77 | 0,72 | 2,37 | 2,22 | 0,95 | 2,24 | 0,89 | 0,24 |