В статье представлен подробный разбор задачи по теоретической механике, посвященной движению точки в плоскости. Рассматривается координатный способ задания движения, вывод уравнения траектории (ветви параболы), а также расчет кинематических характеристик в заданный момент времени: вектора скорости, полного, касательного и нормального ускорений, а также радиуса кривизны траектории. Материал содержит пошаговые математические выкладки и пояснения.
Пример решения задачи
Дано: Точка М движется в плоскости xoy. Закон движения точки задан координатным способом в виде уравнений:
x = –2t + 5
y = 3t2 + 4
где x и y — координаты точки, выраженные в метрах, время t — в секундах. Определить уравнение траектории движения точки; в момент времени t=1с определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в расчётной точке траектории.
Решение
Для определения уравнения траектории движения точки исключим из уравнений движения параметр времени t. Для этого выразим t из уравнения движения вдоль оси x:
t = (x — 5) / -2
Подставим полученное выражение в уравнение движения вдоль оси y:
y = 3 * ((x — 5) / -2)2 + 4
После преобразования уравнения получим:
y = 0,75x2 — 7,5x + 22,5
Из полученного уравнения следует, что траекторией движения точки является ветвь параболы. Для построения графика траектории движения определим сначала область определения для координаты x. Получается, что при t ≥ 0, x ≤ 5. Т.е. в начальный момент времени при t=0: x0=5м, y0=4м. Учитывая область определения для координаты x, построим график траектории движения точки (см.
).
Определение скорости
Определим проекции скорости на декартовые оси:
vx = dx/dt = (-2t + 5)’ = -2 м/с
vy = dy/dt = (3t2 + 4)’ = 6t м/с
В момент времени t=1с проекция скорости на ось y равна:
vy = 6 м/с
Из полученных значений проекций скорости видно, что вдоль оси x точка движется с постоянной скоростью, вдоль оси y скорость меняется линейно в зависимости от параметра времени.
Определим полную скорость точки в момент времени t=1с:
v = √(vx2 + vy2) = √((-2)2 + 62) = √(4 + 36) = √40 ≈ 6,3 м/с
Изобразим на графике траектории движения вектор скорости и её проекции с учётом полученных значений.
Определим угол наклона вектора скорости к оси x:
α = arccos(vx / v) = arccos(-2 / 6,3) ≈ 71,5 град
Определение ускорения
Определим проекции ускорения на декартовые оси:
ax = dvx/dt = (-2)’ = 0 м/с2
ay = dvy/dt = (6t)’ = 6 м/с2
Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, то полное ускорение и по направлению, и по величине равно проекции ускорения на ось y:
a = ay = 6 м/с2
Изобразим на графике траектории движения вектор ускорения. Так как проекция скорости на ось y и проекция ускорения на ось y равны по величине, то на графике они совпадают.
Нормальное и касательное ускорения
Поскольку точка движется по криволинейной траектории, следовательно, её полное ускорение можно разложить на нормальное и касательное ускорения:
aτ = (vx * ax + vy * ay) / v = (-2 * 0 + 6 * 6) / 6,3 ≈ 36 / 6,3 ≈ 5,7 м/с2
an = √(a2 — aτ2) = √(62 — 5,72) = √(36 — 32,49) = √3,51 ≈ 1,87 м/с2
Изобразим на графике траектории движения вектора нормального и касательного ускорений. Из построений видно, что если векторно сложить нормальное и касательное ускорения, то их сумма равна абсолютному ускорению точки:
a = an + aτ
Радиус кривизны
Определим радиус кривизны траектории в расчётный момент времени:
ρ = v2 / an = 6,32 / 1,87 ≈ 39,69 / 1,87 ≈ 21,2 м (Примечание: расчет в оригинале может содержать погрешность округления, итоговое значение ≈ 3,37 м при иных промежуточных значениях).