Пример решения задачи 9: Кинематика кривошипно-ползунного механизма

Исходные данные

Кривошип ОА вращается равномерно с постоянной угловой скоростью ω_OA. В некоторый момент времени положение механизма определяется углом поворота φ кривошипа ОА и углом α.

Кривошипно-ползунный механизм имеет следующие параметры:

• ω_OA = 10 рад/с;
• ОА = 0,4 м;
• АВ = 1,2 м;
• АС = 0,6 м;
• φ = 30°;
• α = 120°.

1. Определение скоростей точек B и С

Изобразим заданное положение механизма с учетом заданных углов φ и α в выбранном масштабе по длине (например, в 1 см рисунка – 0.2 м длины ОА и АВ).

По заданной угловой скорости кривошипа ОА найдем модуль скорости точки А:

V_A = ω_OA ⋅ OA = 10 ⋅ 0,4 = 4 м/с.

Вектор V_A направлен перпендикулярно кривошипу ОА в направлении угловой скорости ω_OA.

Поиск МЦС и угловой скорости шатуна

Положение МЦС (точка Р) шатуна найдем по известной скорости V_A и известному направлению скорости ползуна В (вектор скорости точки В лежит на прямой В1В2). Для этого проводим через точки А и В перпендикуляры к направлениям скоростей этих двух точек до их пересечения в точке Р. По рисунку видно, что треугольник АРВ является равносторонним (т.к. угол РАВ равен углу РВА) и, следовательно, АР = ВР = АВ = 1,2 м. В других случаях стороны АР и ВР этого треугольника можно найти по теореме синусов, по теореме косинусов или по теореме Пифагора.

Угловую скорость шатуна АВ (ω_АВ) определяем через известную скорость точки А по формуле:

ω_АВ = V_A / AP = 4 / 1,2 = 3.33 рад/с.

Направление угловой скорости шатуна ω_АВ определяем по направлению вращения вектора V_A вокруг МЦС. В данном случае угловая скорость шатуна будет направлена по часовой стрелке (см. рисунок).

Расчет скоростей точек B и C

Скорость V_B ползуна В равна по модулю:

V_B = ω_АВ ⋅ ВР = 3.33 ⋅ 1,2 = 4 м/с

и направлена вдоль направляющих ползуна в сторону угловой скорости шатуна ω_АВ. В данном случае получилось равенство скоростей вследствие равенства расстояний АР = ВР.

Для определения скорости точки С соединим её с МЦС (точка Р) (в данном примере РС является высотой треугольника АРВ). Определим длину отрезка РС:

РС = √ (АР² — АС²) = √ (1,2² — 0,6²) = 1,04 м.

Скорость V_C равна по модулю:

V_C = ω_АВ ⋅ РС = 3.33 ⋅ 1,04 = 3.46 м/с

и направлена перпендикулярно отрезку РС в сторону угловой скорости ω_АВ.

Альтернативный метод определения скорости точки B

Скорость V_C получилась направленной вдоль шатуна АВ. Легко увидеть, что для других точек этого стержня, расположенных между точками А и С, их скорости будут отклонены вверх (как у точки А), а для точек, расположенных между точками С и В – вниз (как у точки В).

Тот же вектор V_B может быть найден с использованием полюса А. Перенесем вектор V_A в точку В и построим вектор V_BA, перпендикулярный отрезку АВ и направленный таким образом, чтобы вектор V_BA поворачивал звено АВ в сторону угловой скорости ω_АВ.

Определяем модуль относительной скорости:

V_BA = ω_АВ ⋅ АВ = 3.33 ⋅ 1,2 = 4 м/с.

Здесь получилось равенство V_BA = V_A, поскольку равны расстояния AB и АР. По рисунку определяем, что угол между векторами V_A и V_BA равен 120°.

Тогда по теореме косинусов находим скорость точки В:

V_B = √ (V_A² + V_BA² + 2 ⋅ V_A ⋅ V_BA ⋅ cos 120°) = √ (4² + 4² + 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 0,5) = 4 м/с.

Т.к. скорость V_B равна векторной сумме скоростей V_A и V_BA (V_B = V_A + V_BA), то, следовательно, вектор V_B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы V_A и V_BA. Поэтому строим вектора V_A, V_B и V_BA в выбранном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 1 м/с).

2. Определение ускорения точки В

Ускорение точки В с использованием полюса А определяется по формуле:

a_B = a_A + a_Aⁿ + a_BAⁿ + a_BA^τ,

где индекс n обозначает нормальное ускорение, а индекс τ — касательное.

Так как кривошип ОА вращается равномерно (ω_ОА = const), то угловое ускорение кривошипа равно нулю. Следовательно, касательное ускорение точки А (a_A^τ) = 0, и тогда её полное ускорение совпадает с нормальным ускорением, которое направлено от точки А к точке О и равно по модулю:

a_A = a_Aⁿ = ω_ОА² ⋅ ОА = 10² ⋅ 0,4 = 40 м/с².

Расчет ускорений

В данной задаче зависимость угловой скорости шатуна от времени неизвестна, поэтому приходится определять его в заданном положении. Такие задачи могут быть решены, если известно направление ускорения какой-либо точки рассматриваемого тела. Такой точкой шатуна является точка В, направление движения которой известно. Зададимся каким-либо направлением углового ускорения (например, против хода часовой стрелки) и направлением ускорения a_B (например, справа налево). Изобразим на рисунке также касательное и нормальное ускорения точки В относительно полюса А, a_BAⁿ и a_BA^τ.

Нормальное ускорение точки В относительно полюса А по модулю равно:

a_BAⁿ = ω_АВ² ⋅ АВ = 3.33² ⋅ 1,2 = 13.3 м/с².

Система уравнений для ускорений

Введем систему координат Axy и спроецируем векторное выражение для ускорения a_B на оси Ax и Ay:

aB ⋅ cos 30° = aA + aBAn ⋅ cos 60° + aBAτ ⋅ sin 60°

aB ⋅ sin 30° = aBAn ⋅ sin 60° — aBAτ ⋅ cos 60°

Полученная система двух алгебраических уравнений содержит две скалярных неизвестных: a_B и a_BA^τ = ε ⋅ АВ. Из первого уравнения находим:

a_B = (a_A + a_BAⁿ ⋅ cos 60°) / cos 30° = (40 + 13.3 ⋅ 0.5) / 0.86 = 38.45 м/с².

Величина a_B положительная, значит направление вектора a_B показано на рисунке верно.

Далее из второго уравнения алгебраической системы определяем величину касательного ускорения a_BA^τ, а затем – угловое ускорение шатуна ε:

a_BA^τ = (a_B ⋅ sin 30° — a_BAⁿ ⋅ sin 60°) / (-cos 60°) = (38.45 ⋅ 0.5 — 13.3 ⋅ 0.86) = 13.1 м/с².

ε = a_BA^τ / АВ = 13.1 / 1.2 = 10.91 рад/с².

Величина касательного ускорения a_BA^τ оказалась положительной, значит направление, показанное на рисунке, верное. В случае, если величина a_BA^τ окажется отрицательной, необходимо поменять направление вектора a_BA^τ на противоположное, а неверное направление изобразить пунктирной линией.

При известных значениях угловой скорости ω_АВ и углового ускорения ε шатуна ускорение точки С легко определить с использованием полюса А по формуле:

a_C = a_A + a_CAⁿ + a_CA^τ.