В данной статье представлен подробный разбор задачи по определению площади и координат центра тяжести сложной плоской фигуры. Рассматривается методика разбиения фигуры на простые геометрические элементы (треугольник, прямоугольник, полукруг), расчет их индивидуальных площадей и координат центров тяжести, а также итоговое вычисление координат центра тяжести всей фигуры с учетом вырезов. Материал содержит формулы и пошаговый алгоритм вычислений.
Определение центра тяжести плоской фигуры
Дано: Для плоской фигуры (рис. 1) необходимо определить площадь S и координаты центра тяжести фигуры xC, yC. Шкалы осей на схеме заданы в метрах. Криволинейный участок контура является дугой половины или четверти окружности.
Решение
Разбиваем плоскую фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны (рисунок 2). Центр тяжести прямоугольника и окружности находится в их геометрических центрах. Положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах (треугольник, сектор окружности), определяются по формулам (см. теоретическую часть).
Представим фигуру в виде одного треугольника – 1, прямоугольника 2, полукруга – 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 2).
Определение площадей и координат центров тяжести
Определим площадь Si и координаты центра тяжести xCi, yCi каждой фигуры с учетом расположения плоской фигуры относительно системы координат 0xy.
1. Треугольник (фигура 1)
Площадь треугольника S1 и координаты его центра тяжести xC1, yC1:
- S1 = 4 · 2 / 2 = 4 м2
- xC1 = 2 / 3 = 1,33 м
- yC1 = 4 + 2 / 3 = 4,66 м
2. Прямоугольник (фигура 2)
Площадь прямоугольника S2 и координаты его центра тяжести xC2, yC2:
- S2 = 4 · 9 = 36 м2
- xC2 = 6 + 9 / 2 = 5,5 м
- yC2 = 4 / 2 = 4 м
3. Полукруг (фигура 3)
Площадь полукруга S3 и координаты его центра тяжести xC3, yC3:
- S3 = π · R2 / 2 = 6,28 м2
- xC3 = 4 / 2 = 4 м
- yC3 = (2 · R · sin α) / (3 · α) = 1,15 м (где α – угол, равный половине центрального угла полукруга)
4. Полукруг (вырез, фигура 4)
Площадь полукруга S4 и координаты его центра тяжести xC4, yC4:
- S4 = π · R2 / 2 = 6,28 м2
- xC4 = 4 / 2 = 6 м
- yC4 = (2 · R · sin α) / (3 · α) = 1,15 м
Итоговый расчет
Определим площадь всей фигуры, учитывая, что площадь выреза необходимо брать со знаком минус:
S = S1 + S2 + S3 — S4 = 4 + 36 + 6,28 — 6,28 = 40 м2
Расчет координат центра тяжести всей фигуры
Определим координаты центра тяжести всей фигуры по формулам:
xC = (Σ Si · xCi) / S
xC = (S1 · xC1 + S2 · xC2 + S3 · xC3 — S4 · xC4) / S = (4 · 1,33 + 36 · 5,5 + 6,28 · 4 — 6,28 · 6) / 40 = 5,67 м
yC = (Σ Si · yCi) / S
yC = (S1 · yC1 + S2 · yC2 + S3 · yC3 — S4 · yC4) / S = (4 · 4,66 + 36 · 4 + 6,28 · 1,15 — 6,28 · 1,15) / 40 = 3,43 м
Таким образом, центр тяжести плоской фигуры находится в точке с координатами С (5,67; 3,43).