В статье представлен подробный разбор решения задачи по теоретической механике для статически определимой стержневой системы. Рассматривается методика освобождения жесткого бруса от связей, составление уравнений равновесия в проекциях на оси координат и через сумму моментов сил. Приведены пошаговые вычисления усилий в стержнях (N1, N2, N3) с учетом заданных параметров системы (P=2кН, а=2м, в=2,5м, с=0,5м).
Пример решения задачи 3
Для статически определимой стержневой системы, загруженной силой P, необходимо определить реакции связей. Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.
Исходные данные: P = 2 кН; a = 2 м; в = 2,5 м; c = 0,5 м.
Решение
Рассмотрим равновесие жёсткого бруса. Для освобождения бруса от связей мысленно отбросим стержни и заменим их действие реакциями N1, N2 и N3.
Реакции определим, составив уравнения равновесия. Из схемы не трудно заметить, что угол наклона стержня 1 и стержня 3 к оси x одинаков. Обозначим этот угол через α.
Уравнения равновесия
Уравнение проекций всех сил на ось x:
ΣFkx = N1 cos α — N3 cos α = 0 (1)
Уравнение проекций всех сил на ось y:
ΣFky = N1 sin α + N2 + N3 sin α — P = 0 (2)
Сумма моментов всех сил относительно точки O:
ΣmO(Fk) = N1 sin α · в — P · 2в = 0 (3)
Геометрические параметры
Определим cos α и sin α:
| sin α = a / l | cos α = c / l |
| l = √(a² + c²) | |
Расчет усилий в стержнях
Решая систему из трёх уравнений (1, 2 и 3), найдём усилия в стержнях.
Из уравнения (3) определяем усилие в первом стержне N1:
N1 = (P · 2в) / (sin α · в) = 2P / sin α = 2 · 2 / sin α = 4 / sin α кН.
Из уравнения (1) определяем усилие в третьем стержне N3:
N3 = N1 = 2 кН.
Из уравнения (2) определяем усилие во втором стержне N2:
N2 = P — (N1 + N3) sin α = P — (N1 + N1) sin α = P — 2N1 sin α = 2 — 2 · (2 / sin α) · sin α = 2 — 4 = -2 кН.