Пример решения задачи по теоретической механике: кинематика точки

Пример решения задачи 5

Дано: по ¼ дуге окружности движется точка из положения 0 в положение 3, согласно уравнению S=πt². Длина прямолинейного участка пути l=6 м, радиус дуги окружности r=16 м. Определить скорость точки V, нормальное ускорение a_n, касательное ускорение a_τ и полное ускорение а в положениях 1, 2 и 3.

Решение

1. Определяем расстояние S, которое проходит точка от положения 0 до положений 1, 2 и 3

• S₁ = l = 6 м;
• S₂ = S₁ + (πr / 4) = 6 + (3,14 * 16 / 4) = 6 + 12,56 = 18,56 м;
• S₃ = S₂ + l = 18,56 + 6 = 24,56 м.

2. Из уравнения движения точки S=πt² выражаем параметр времени

t = √(S / π).

Определяем время, за которое точка достигает положения 1, 2 и 3:

• t₁ = √(6 / π) ≈ 1,38 с;
• t₂ = √(18,56 / π) ≈ 2,43 с;
• t₃ = √(24,56 / π) ≈ 2,79 с.

3. Определяем скорость движения точки

Для этого продифференцируем уравнение S=πt² по времени:

V = dS/dt = 2πt.

• V₁ = 2 * π * 1,38 ≈ 8,66 м/с;
• V₂ = 2 * π * 2,43 ≈ 15,26 м/с;
• V₃ = 2 * π * 2,79 ≈ 17,53 м/с.

4. Определим касательное ускорение точки

Для этого продифференцируем уравнение скорости V = 2πt:

a_τ = dV/dt = 2π ≈ 6,28 м/с².

Получили, что касательное ускорение не зависит от времени, поэтому касательное ускорение точки во всех положениях будет иметь одинаковое значение, равное 6,28 м/с².

5. Определим нормальное ускорение точки

В положении 1 и 3 нормальное ускорение a_n1 = a_n3 = 0, так как на участке 0–1 и 2–3 точка совершает прямолинейное движение. В положении 2 нормальное ускорение определим по формуле:

a_n2 = V₂² / r = 15,26² / 16 ≈ 14,55 м/с².

6. Определим полное ускорение точки по формуле

a = √(a_τ² + a_n²).

• a₁ = a₃ = a_τ = 6,28 м/с²;
• a₂ = √(6,28² + 14,55²) ≈ √(39,44 + 211,70) ≈ √251,14 ≈ 15,85 м/с².

7. Изображаем направления векторов на траектории движения точки (см. выше на схеме)