Данная работа представляет собой фундаментальное руководство по применению методов математического моделирования, в частности уравнений в частных производных (PDE), для анализа распространения информации в социальных сетях. Авторы рассматривают переход от классических моделей на основе обыкновенных дифференциальных уравнений к пространственно-временным моделям, учитывающим структуру сообществ, кластеризацию графов и внешние факторы влияния, такие как геополитические события и эпидемиологические тренды.
- Введение
- Обыкновенные дифференциальные уравнения в социальных сетях
- Диффузия инноваций
- Логистическая кривая принятия
- Лидеры мнений и кластеризация
- Пространственно-временные паттерны диффузии информации
- Прыжки дружбы как расстояние
- Логистическая кривая влияния
- Кластеризация графов онлайн-социальных сетей
- Спектральное разбиение графа
- Кластеризация на основе организации высшего порядка
- Модели уравнений в частных производных
- Формулировка модели УЧП
- Диффузная логистическая модель
- Моделирование сложных взаимодействий
- Диффузия информации из нескольких источников
- Конкурентный процесс диффузии
- Математический анализ
- Задачи со свободной границей
- Бифуркация Хопфа эпидемиоподобной модели слухов
- Приложения
- Анализ диффузии информации в Twitter во время египетской революции
- Система эпиднадзора за гриппом на основе PDE
Введение
Онлайн-социальные сети (OSN), такие как Twitter и Facebook, стали «модельным организмом» Big Data, предоставляя платформы для обмена информацией. Большая часть предыдущих работ по диффузии информации в социальных сетях основывалась на эмпирических и статистических подходах. Большинство динамических моделей, возникающих при изучении диффузии информации, представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Недавно авторы предложили использовать уравнения в частных производных (УЧП) для моделирования диффузии информации в социальных сетях и представили новую трансдисциплинарную архитектуру. Эти исследования демонстрируют захватывающие связи между передовой математикой и онлайн-социальными сетями.
Обыкновенные дифференциальные уравнения в социальных сетях
В этой главе мы рассматриваем ряд моделей на основе ОДУ для диффузии инноваций и эпидемиологических моделей. Мы обсуждаем классическую теорию диффузии инноваций, подчеркивая особенности онлайн-социальных сетей и анализируя несколько моделей ОДУ для диффузии инноваций. Мы также представляем ряд базовых компартментных эпидемиологических моделей и их применение в социальных сетях, а также обсуждаем SIR-модели и их расширения, когда общая численность населения не является постоянной.
Диффузия инноваций
Диффузия инноваций — это теория, которая стремится объяснить, как новые идеи и технологии распространяются в культурах. Э. М. Роджерс популяризировал эту теорию в своей книге «Диффузия инноваций». Он выделил четыре ключевых элемента, влияющих на диффузию новой идеи: сама инновация, каналы коммуникации, время и социальная система.
Логистическая кривая принятия
Роджерс утверждал, что процесс диффузии имеет точку, в которой инновация достигает критической массы. Распределение по времени обычно описывается S-образной (сигмоидальной) кривой. Математически существует точка перегиба, где кривая меняется с выпуклой на вогнутую. В конечном итоге кривая медленно приближается к 100%.
Лидеры мнений и кластеризация
Очевидно, что индивиды в популяции не оказывают равного влияния на других. Лидеры мнений, обладающие большим социальным опытом и более высоким статусом, более влиятельны в убеждении других людей изменить свое отношение к новостям или инновациям. Процесс двухступенчатого потока (two-step flow) иллюстрирует, как информация распространяется в два этапа: сначала лидеры мнений принимают информацию, затем передают свои интерпретации другим.
Пространственно-временные паттерны диффузии информации
В этой главе мы исследуем пространственно-временные паттерны диффузии информации в онлайн-социальных сетях. Мы представляем соответствующие результаты исследования набора данных Digg. Мы анализируем пространственно-временные паттерны с использованием «прыжков дружбы» (friendship hops) в качестве расстояния в наборе данных Digg. Наконец, мы обсуждаем пространственно-временные паттерны с использованием общих интересов в качестве расстояния.
Прыжки дружбы как расстояние
В онлайн-социальных сетях кибер-расстояния между двумя пользователями играют значительную роль в диффузии информации. Интуитивно понятный подход к определению расстояния между двумя пользователями — использование количества ссылок дружбы в кратчайшем пути от одного пользователя к другому в графе социальной сети, называемое «прыжками дружбы».
Логистическая кривая влияния
Мы изучили влияние расстояния по прыжкам дружбы на процесс диффузии информации, измеряя плотность затронутых пользователей на одинаковом расстоянии. Плотность затронутых пользователей на разных расстояниях показывает последовательные развивающиеся паттерны, а не случайные колебания. Временные и пространственные паттерны напоминают динамику эволюционных уравнений, включающих как временные, так и пространственные переменные.
Кластеризация графов онлайн-социальных сетей
В этой главе мы кратко представляем графовые модели онлайн-социальных сетей и кластеризацию графов. Мы обсуждаем графовые модели и свойства матриц Лапласа. Мы фокусируемся на разбиении графов с помощью собственных векторов матриц Лапласа. Мы также представляем метод кластеризации, основанный на организации графов высшего порядка. Наконец, мы представляем спектральную ко-кластеризацию с двудольными графами.
Спектральное разбиение графа
Для взвешенного графа G = (V, E), учитывая разбиение V на непересекающиеся V1 и V2, разрез (cut) между ними может быть определен как cut(V1, V2) = Σ_{i∈V1, j∈V2} M_{ij}. Классическая задача разбиения графа состоит в поиске почти равных по размеру подмножеств вершин V1 и V2, таких что разрез минимален.
Кластеризация на основе организации высшего порядка
Многие свойства сети могут быть получены с помощью паттернов связности низшего порядка, которые могут быть зафиксированы на уровне отдельных узлов и ребер. В этом разделе мы обсуждаем организацию высшего порядка сложных сетей на уровне небольших подграфов сети (мотивов), что поможет нам выявить больше идей о сложных сетях.
Модели уравнений в частных производных
В этой главе мы представляем ряд моделей уравнений в частных производных для диффузии информации в онлайн-социальных сетях с использованием прыжков дружбы в качестве метрик расстояния. Мы разрабатываем концептуальную основу, которая разделяет процесс диффузии информации в онлайн-социальных сетях на два отдельных процесса: внешнее и внутреннее влияние.
Формулировка модели УЧП
Процесс диффузии информации может быть сформулирован как ∂I/∂t + ∂J/∂x = f(I, x, t). Здесь J — поток количества информации, а f — скорость, с которой информация создается внутри секции. В социальных сетях f представляет процесс внутри кластеров и является результатом локального роста, часто напрямую связанного с базовой структурой сети.
Диффузная логистическая модель
Логистическая модель считается простейшей нелинейной моделью для описания динамики популяции, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующей популяции, так и количеству доступных ресурсов. Мы приходим к следующему диффузному логистическому уравнению: ∂I/∂t = d∂^2I/∂x^2 + rI(1 — I/K).
Моделирование сложных взаимодействий
В этой главе мы представляем ряд моделей уравнений в частных производных для описания сложных взаимодействий между пользователями в онлайн-социальных сетях. Мы обсуждаем модель диффузии информации, инициированную из нескольких источников, и расширяем пространственные кооперативные системы для популяционной динамики до диффузии информации, где две или более части информации продвигают друг друга.
Диффузия информации из нескольких источников
Часто важные новости, чрезвычайные события и спорные темы инициируются рядом различных источников новостей. Сообщение новостей из разнообразных источников часто увеличивает скорость их распространения и охват. Более практично и важно понимать паттерны диффузии информации из нескольких источников в социальных сетях.
Конкурентный процесс диффузии
Различные политические взгляды или рекламные кампании конкурируют друг с другом, чтобы максимизировать свое влияние на людей через онлайн-социальные сети. Чтобы охарактеризовать плотность пользователей, на которых влияет определенная конкуренция, мы можем изучать конкурирующие новости, используя модели конкуренции Лотки-Вольтерры.
Математический анализ
В этой главе мы обсуждаем задачу со свободной границей для реакционно-диффузионных логистических уравнений в онлайн-социальных сетях. В частности, мы обсуждаем несколько результатов бифуркации и устойчивости для неавтономной диффузной логистической модели в онлайн-социальных сетях с граничными условиями Робена. Кроме того, мы представляем бифуркацию Хопфа и пространственные паттерны эпидемиоподобной модели слухов для онлайн-социальных сетей.
Задачи со свободной границей
Мы исследуем диффузную логистическую модель со свободной границей для онлайн-социальных сетей. Здесь u(t, x) представляет плотность затронутых пользователей на расстоянии x в момент времени t; x = h(t) — движущаяся граница, которую нужно определить, и она представляет собой фронт распространения новостей среди пользователей.
Бифуркация Хопфа эпидемиоподобной модели слухов
Понимание механизма диффузии слухов в онлайн-социальных сетях важно для контроля и предотвращения распространения слухов. Мы используем функционально-дифференциальные уравнения в частных производных для изучения распространения слухов в социальных сетях.
Приложения
В этой главе мы представляем два приложения моделей уравнений в частных производных для диффузии информации в онлайн-социальных сетях. Мы представляем диффузионно-адвективную PDE-модель для описания транснационального процесса диффузии социального движения в социальных сетях во время египетской революции 2011 года. Мы разрабатываем систему эпиднадзора за гриппом на основе PDE, анализируя данные Twitter, связанные с гриппом.
Анализ диффузии информации в Twitter во время египетской революции
Египетская революция 2011 года, часть Арабской весны, началась 25 января 2011 года. Египетские активисты использовали социальные сети для распространения информации и укрепления солидарности. Диффузия информации в социальных сетях стала ключевым фактором мобилизации для успеха технологически ориентированных социальных движений.
Система эпиднадзора за гриппом на основе PDE
Мы используем PDE-модель в прототипе системы эпиднадзора за гриппом в реальном времени, чтобы понять и предсказать тенденцию гриппа, используя сигналы гриппа, встроенные в социальные сети. Наш подход позволяет достичь более быстрого, почти реального времени и локализованного прогнозирования возникновения и распространения эпидемии гриппа.