Цепи переменного синусоидального однофазного тока

Цепи переменного синусоидального однофазного тока

Вопросы теории и расчета цепей однофазного переменного тока рассмотрены далее на нескольких примерах решения типовых задач.

1 Способы изображения синусоидальных электрических величин

Задача № 1

Построить временную диаграмму, определить амплитудное, действующее и комплексное значения для напряжения, мгновенное значение которого изменяется по закону u = 169 sin(314t + 45°).

Решение

1. Известно несколько способов представления величин, изменяющихся по синусоидальному закону, в виде:

• графиков изменения функций во времени,
• тригонометрических функций,
• вращающихся векторов,
• комплексных чисел.

В данной задаче напряжение задано тригонометрической функцией, u = U_m sin(ωt + ψ_H) = 169 sin(314t + 45°) (3.1), где:

• u — мгновенное значение напряжения или значение переменной величины в данный момент времени;
• U_m — амплитудное значение напряжения;
• ω — угловая частота;
• ψ_H — начальная фаза — угол, определяющий значение функции в начальный момент времени;
• ωt + ψ_H — фаза колебания, характеризующая развитие процесса во времени.

Из выражения (3.1) имеем: U_m = 169 В; ω = 314 с^-1; ψ_H = 45°, а также видно, что напряжение изменяется по закону синусоиды и может быть изображено графиком функции во времени (временной диаграммой).

Рисунок 3.1 — Временная диаграмма напряжения

Действующее значение напряжения определим из соотношения:

U = U_m / √2 = 0,707 * 169 = 120 В (3.2)

Среднее значение:

U_ср = 2 * U_m / π = 0,637 * 169 = 108 В (3.3)

3. Известно, что вертикальная проекция вращающегося радиуса-вектора изменяется по закону синусоиды. Поэтому возможно обратное: синусоиду можно заменить радиусом-вектором, длина которого равна амплитуде (U_m), а скорость вращения — угловой скорости данной синусоидальной волны (ω = 314 с^-1). Для момента времени t = 0, положение радиуса-вектора показано на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 — Вектор напряжения

5. Поместим данный вектор в комплексную плоскость (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 — Вектор напряжения в комплексной плоскости (а) и его проекция (б) на оси U’ и U»

Вектору напряжения в комплексной плоскости соответствует комплексное число, которое может быть записано в формах:

• алгебраической: U̇ = U’_m + jU»_m
• тригонометрической: U̇ = U_m(cos 45° + j sin 45°) (3.4)
• показательной: U̇ = U_m e^j45°

2 Идеализированные элементы схем замещения цепей переменного тока

Задача № 2

Ток в цепи, содержащей резистор сопротивлением R=10 Ом (рисунок 3.4), изменяется по закону i = 14,1 sin 314t. Определить действующее значение тока и напряжения и записать закон изменения напряжения и мощности. Построить векторную диаграмму и графики.

Рисунок 3.4 — Цепь с резистивным элементом

Решение

1. В идеальном резистивном (активном) элементе электрическая энергия источника полностью преобразуется в другие виды энергии. Сопротивление R — параметр резистора. Из выражения i = I_m sin ωt = 14,1 sin 314t (3.5), амплитудное значение тока равно: I_m = 14,1 А. Действующее значение тока равно: I = I_m / √2 = 10 А.

2. По закону Ома для действующих значений напряжение равно: U = I * R = 10 * 10 = 100 В. По закону Ома мгновенных значений запишем выражение для мгновенного значения напряжения: u = i * R = U_m sin ωt = 100 sin 314t (3.6). Сравнивая выражения (3.5) и (3.6) видим, что ток и напряжение в цепи с резистивным (активным) элементом в любой момент времени совпадают по фазе.

3. На рисунке 3.5 показаны графики зависимостей тока и напряжения в функции времени.

Рисунок 3.5 — Графики тока и напряжения на резистивном (активном) элементе

На векторных диаграммах для амплитудных и действующих значений тока и напряжения сдвиг фаз равен 0°. Отличие в построении этих диаграмм заключается в том, что длина всех векторов на диаграмме для действующих значений в √2 раз меньше, чем длина соответствующих векторов на диаграмме для амплитудных значений.

Рисунок 3.6 — Векторные диаграммы для резистивного (активного) элемента

3. Определим значение мощности в любой момент времени:

P = u * i = U_m sin ωt * I_m sin ωt = U_m I_m sin² ωt = I² R * 2 sin² ωt = 1000 * 2 sin² 314t (3.7)

Из выражения (3.7) видим, что мощность в цепи с резистивным (активным) элементом всегда положительна, т.е. вся энергия источника питания цепи на резисторе полностью преобразуется в полезную (в данном случае — тепловую) работу. График колебания мощности приведен на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 — График колебания мощности в цепи с идеальным резистивным элементом

Задача № 3

В цепи с индуктивным элементом (рисунок 3.8) ток изменяется по закону i = 14,1 sin 100t, индуктивность катушки в цепи L= 0,1 Гн. Записать закон изменения напряжения и мощности, построить векторную диаграмму и графики. Определить реактивное сопротивление цепи и показания приборов.

Рисунок 3.8 — Цепь с идеальным индуктивным элементом

Решение

1. Идеальная индуктивная катушка — элемент цепи, в котором электрическая энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля. Возникающее между концами катушки напряжение u_L идет на компенсацию ЭДС самоиндукции катушки e_L. Поэтому закон изменения напряжения для данной цепи определяется так: u_L = -e_L = L * di/dt (3.8), где i = I_m sin ωt = 14,1 sin 100t (3.9); u_L = L * d(I_m sin ωt)/dt = U_m sin(ωt + 90°) (3.10).

В выражении (3.10) U_m = ω * L * I_m = 100 * 0,1 * 14,1 = 141 В (3.11); u_L = 141 sin(100t + 90°) (3.12). Анализируя выражения (3.9) и (3.12), видим, что напряжение на индуктивном элементе в любой момент времени опережает ток на угол, равный 90°.

2. Выражение ω * L (3.11) является реактивным индуктивным сопротивлением — x_L реальной катушки: x_L = ω * L = 100 * 0,1 = 10 Ом.

3. Показание амперметра и вольтметра определяются как действующие значения: I = I_m / √2 = 10 А; U = U_m / √2 = 100 В.

На рисунке 3.9 приведены графики изменения тока и напряжения, а также векторная диаграмма цепи.

Рисунок 3.9 — Ток и напряжение в цепи с индуктивностью

4. Запишем закон изменения мощности во времени: P = u * i = U_m sin(ωt + 90°) * I_m sin ωt = U_m I_m cos ωt * sin ωt = I_m U_m / 2 * sin 2ωt = 1000 sin 200t (3.13).

Из выражения (3.13) видим, что мощность в цепи с индуктивностью колеблется с двойной частотой относительно частоты изменения тока и напряжения. График колебания мощности приведен на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 — График колебаний мощности на индуктивном элементе

Задача № 4

Записать закон изменения тока в цепи с идеальным конденсатором, найти действующие значения тока и напряжения, определить показания приборов, если напряжение на входе цепи изменяется по закону u_C = 141 sin 100t, C = 100 мкФ. Построить векторную диаграмму и графики.

Рисунок 3.11 — Цепь с емкостным элементом

Решение

1. Идеальный конденсатор — элемент цепи, в котором электрическая энергия источника преобразуется в энергию электрического поля. Ток определяется как i = dq/dt = C * dU/dt (3.14). В нашем случае u_C = U_m sin ωt = 141 sin 100t (3.15). Поэтому i = C * d(U_m sin ωt)/dt = ω * C * U_m cos ωt. Переходя от косинуса к синусу, получаем i = I_m sin(ωt + 90°) (3.16).

Из выражения (3.16) следует, что I_m = ω * C * U_m = 100 * 100 * 10^-6 * 141 = 1,41 А. Значит мгновенное значение тока через конденсатор составит i = 1,41 sin(100t + 90°) (3.17).

2. Из выражений (3.16) и (3.17) найдем действующие значения напряжения и тока: U = 100 В; I = 1 А.

3. Сравнивая выражения (3.15) и (3.16), видим, что ток, протекающий через емкостной элемент в любой момент времени, опережает напряжение на угол, равный 90°. На рисунке 3.12 приведены графики тока и напряжения на конденсаторе и векторная диаграмма.

Рисунок 3.12 — Ток и напряжение на емкостном элементе

Мгновенная мощность емкости: P = u * i = U_m sin ωt * I_m sin(ωt + 90°) = U_m I_m sin ωt * cos ωt = -U_m I_m / 2 * sin 2ωt = -100 sin 200t (3.18). График мгновенной мощности приведен на рисунке 3.13.

Рисунок 3.13 — График мгновенной мощности на емкостном элементе

3 Последовательное соединение активного, индуктивного и емкостного элементов (цепь R, L, C)

Рассмотрим задачу расчета цепи, в которую входят последовательно соединенные все основные пассивные элементы (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14 — Полная цепь переменного тока

Для построения векторной диаграммы произведем векторное сложение напряжений на всех элементах цепи: U̇ = U̇_R + U̇_L + U̇_C (3.19). Это выражение является вторым законом Кирхгофа в векторной форме. Построение диаграмм начинают с вектора тока İ.

Вектор напряжения на активном сопротивлении совпадает по направлению с вектором тока: U̇_R = İ * R (3.20). Вектор напряжения на катушке U̇_L опережает ток на угол 90°: U̇_L = İ * jωL (3.21). Вектор напряжения на конденсаторе отстает от тока на угол 90°: U̇_C = İ / jωC (3.22).

Рисунок 3.15 — Векторные диаграммы цепи RLC и треугольник напряжений

Замыкающий вектор дает приложенное к цепи напряжение U, оно сдвинуто по фазе относительно тока на угол φ. Из треугольника напряжений получим: U = √[U_R² + (U_L — U_C)²] (3.23). Для определения тока имеем закон Ома для полной цепи R, L, C: I = U / √[R² + (ωL — 1/ωC)²] (3.24).

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, получим треугольник сопротивлений. Гипотенуза этого треугольника соответствует полному сопротивлению цепи — Z.

Рисунок 3.16 — Треугольник сопротивлений

Разность индуктивного и емкостного сопротивлений называется полным реактивным сопротивлением: X = x_L — x_C = ωL — 1/ωC (3.25). Из треугольника сопротивлений получаем: Z = √[R² + X²] (3.26); cos φ = R/Z; sin φ = X/Z (3.27). С учетом (3.25) и (3.26) закон Ома примет вид: I = U / Z (3.28).

Умножая все стороны треугольника напряжений на ток цепи, получим треугольник мощности.

Рисунок 3.17 — Треугольник мощности

Разность реактивной индуктивной мощности и реактивной емкостной мощности называется реактивной мощностью Q. Из треугольника мощностей получим: S = √[P² + Q²] (3.29), где P = U * I * cos φ; Q = U * I * sin φ (3.30). Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности: cos φ = P / S (3.31).