Расчет магнитных цепей постоянного тока (часть 2)

Графическое определение потоков

Дальнейшие построения для полученной неразветвленной цепи можно выполнить построением характеристики Ф₁ = f(U_Mаб), где U_Mаб = Iw — H₁l₁ (

). Точка m₁ пересечения кривой Ф₁ = f(U_Mаб) с кривой Ф₂₊₃ = f(U_Mаб) определяет магнитное напряжение U_Mаб между точками а и б и поток Ф₁. Ординаты точек пересечения m₂ и m₃ вертикальной прямой m₁-m с кривыми Ф₂ = f(U_Mаб) и Ф₃ = f(U_Mаб) дают соответственно потоки Ф₂ и Ф₃.

ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПОТОКОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ (“обратная” задача)

Рассмотрим расчет разветвленной магнитной цепи, показанной на [IMAGE_7]. Сердечник магнитной цепи выполнен из электротехнической стали марки 1512. Основная кривая намагничивания этой стали задана в виде табл. 1. Рассчитать магнитные потоки и индукции во всех участках цепи, если сечения участков S₁=S₂=5 см², S₃=10 см²; длины участков l₁=30 см, l₂=40 см, l₃=10 см, l_В=0,2 мм; намагничивающие силы обмоток I₁w₁=440 А, I₂w₂=280 А.

Таблица 1. Основная кривая намагничивания электротехнической стали марки 1512

В, Тл	0	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,4
Н, А/м	0	55	70	90	120	155	200	350	500	1600

Порядок решения задачи

1. Укажем направления действия НС обмоток и зададимся положительными направлениями магнитных потоков Ф₁, Ф₂ и Ф₃.
2. Составим эквивалентную схему магнитной цепи ([IMAGE_8]).
3. На основании первого и второго законов Кирхгофа для схемы ([IMAGE_8]) составим следующие уравнения:
   • Ф₁ = Ф₂ + Ф₃
   • I₁w₁ = H₁l₁ + U_Mаб
   • I₂w₂ = H₂l₂ — U_Mаб
   • U_Mаб = H₃l₃ + H_Bl_B
4. Решение данной задачи проведем графическим методом. Чтобы решить полученную систему уравнений, построим зависимости потоков в участках цепи от магнитного напряжения между узлами а, б:
   • Ф₁ = f(U_Mаб) = f(I₁w₁ — H₁l₁)
   • Ф₂ = f(U_Mаб) = f(I₂w₂ — H₂l₂)
   • Ф₃ = f(U_Mаб) = f(H₃l₃ + H_Bl_B)

С этой целью зададимся рядом значений индукции в участках цепи, по кривой намагничивания определим соответствующие значения напряженности магнитного поля. На воздушном участке магнитной цепи H_B [А/м] = B / μ₀ = B / (4π · 10^-7) ≈ B · 8 · 10⁵ [Тл]. По известным значениям напряженности магнитного поля на участках цепи вычислим магнитное напряжение Hl и соответствующие значения потоков Ф = B · S. Результаты вычислений представлены в табл. 2.

Таблица 2. Результаты вычислений

B, Тл	H, A/м	Ф1=Ф2=B1S1=B2S2, Фб·10-5	H1l1, A	UMab=I1w1-H1l1, A	H2l2, A	UMab=I2w2+H2l2, A	Ф3=B3S3, Фб·10-5	H3l3, A	HBlB, A	UMab=H3l3+HBlB, A
0	0	0	0	440	0	280	0	0	0	0
0,5	55	25	16,5	423,5	22	302	50	5,5	80	85,5
0,6	70	30	21,0	419	28	308	60	7	96	103
0,7	90	35	27,0	413	36	316	70	9	112	121
0,8	120	40	36,0	404	48	328	80	12	128	140
0,9	155	45	46,5	393,5	62	342	90	15	144	159
1,0	200	50	60,0	380	80	360	100	20	160	180
1,1	350	55	105	335	140	420	110	35	176	211
1,2	500	60	150	290	200	480	120	50	192	242
1,4	1600	70	480	-40	640	920	140	160	224	384
1,5	2750	75	825	-385	1100	1380	150	275	240	515

Завершение расчета

По данным табл. 2 строим кривые Ф₁=f(U_Mаб), Ф₂=f(U_Mаб) и Ф₃=f(U_Mаб). Так как значения магнитных потоков должны удовлетворять уравнению Ф₁ = Ф₂ + Ф₃, то построим еще одну вспомогательную кривую Ф₂₊₃=f(U_Mаб). Для этого просуммируем ординаты кривых Ф₂ и Ф₃ для одних и тех же значений магнитного напряжения U_Mаб. Ордината точки m₁ пересечения кривых Ф₂₊₃ с кривой Ф₁ определит величину потока Ф₁ = 68·10^-5 Вб.

Чтобы найти потоки Ф₂ и Ф₃ проведем через точку m₁ прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривыми Ф₂ и Ф₃. В результате получаются отрезки m₁m₂ и m₁m₃, определяющие потоки Ф₂ = -47·10^-5 Вб и Ф₃ = -115·10^-5 Вб. Зная потоки, легко определить магнитные индукции: B₁ = 1,36 Тл; B₂ = 0,94 Тл; B₃ = 1,15 Тл.

ПРИМЕР РАСЧЕТА МДС В РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ ПО ЗАДАННОМУ МАГНИТНОМУ ПОТОКУ (“прямая” задача)

Магнитная цепь приведена на [IMAGE_9]. Геометрические размеры и материал указаны в предыдущем примере. Намагничивающие обмотки расположены на втором и третьем стержнях, причем МДС обмотки, расположенной на втором стержне равна I₂w₂ = 200 А, а магнитный поток первой ветви Ф₁ = 60·10^-5 Вб. Требуется определить ток I₃, если I₁w₁ = 180 А.

Для решения задачи необходимо знать направления Ф₁, I₂w₂, I₃w₃. Пусть поток Ф₁ и МДС обмоток возбуждения направлены так, как указано на [IMAGE_10].

Порядок решения

1. Для схемы замещения данной магнитной цепи ([IMAGE_10]) составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:
   • Ф₁ = Ф₂ + Ф₃
   • U_Mаб = H₁l₁ — I₁w₁
   • U_Mаб = I₂w₂ — H₂l₂
   • U_Mаб = H₃l₃ + H_Bl_B — I₃w₃
2. Для решения этой системы нелинейных уравнений необходимо построить вебер-амперные характеристики первой, второй и третьей ветвей рассматриваемой магнитной цепи.
3. По заданному потоку Ф₁ и вебер-амперной характеристике Ф₁=f(U_Mаб) находим U_Mаб = 150 А.
4. Построим зависимости Ф₁ и Ф₂ от U_Mаб, используя уравнения U_Mаб = I₂w₂ — H₂l₂, U_Mаб = H₁l₁ — I₁w₁, и по уже известному значению U_Mаб определим потоки во второй и третьей ветвях. Поток Ф₂ найдем из кривой Ф₂=f(U_Mаб), а поток Ф₃ − как разность отрезков Ф₁ и Ф₂: Ф₃ = Ф₁ — Ф₂ = 60·10^-5 — 40·10^-5 = 20·10^-5 Вб.
5. По вебер-амперной характеристике Ф₃=f(U_Mаб) для Ф₃ = 20·10^-5 Вб определим U_Mаб = 30 А.
6. Из уравнения U_Mаб = I₃w₃ — H₃l₃ (или аналогичного) вычисляем I₃w₃ = U_Mаб + H₃l₃ = 150 + 30 = 180 А.

В приложении 1 приведены варианты индивидуальных заданий по расчету разветвленных магнитных цепей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нейман Л.P., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 2. – 3-е изд., перераб. и доп. − Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. − 416 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. для вузов – 9-е изд., перераб. доп. − М.: Высш. шк., 1996. 638 с.
3. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 538 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТУ РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ

Рассчитать магнитные потоки и индукцию во всех участках разветвленной магнитной цепи, состоящей из трех ветвей, одна из которых имеет воздушный зазор (см. [IMAGE_7]). Исходные данные к индивидуальному заданию приведены в табл. 1(П1) и 2(П1).

Таблица 1(П1). Геометрические размеры магнитопровода

№	l1, см	l2, см	l3, см	lВ, см	S1, см2	S2, см2	S3, см2	Номер стержня с воздушным зазором
1	24	16	8	0,02	10	10	20	1
2	24	20	10	0,04	12	12	24	2
3	24	24	12	0,06	14	14	28	3
4	24	16	8	0,02	10	10	20	1
5	24	20	10	0,04	12	12	24	2
6	24	24	12	0,06	14	14	20	3
7	24	16	8	0,02	10	10	20	1
8	24	20	10	0,04	12	12	24	2
9	24	24	12	0,06	14	14	28	3
10	24	20	10	0,04	12	12	24	2
11	24	24	12	0,06	14	14	28	3
12	24	16	8	0,02	10	10	20	1
13	24	20	10	0,04	12	12	24	2
14	24	16	8	0,02	10	10	20	1
15	24	20	10	0,04	12	12	24	2
16	24	24	12	0,06	14	14	28	3
17	24	16	8	0,02	10	10	20	1
18	24	20	10	0,04	12	12	24	2
19	24	24	12	0,06	14	14	20	3
20	24	16	8	0,02	10	10	20	1

Таблица 2(П1). МДC обмоток возбуждения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I1w1, A	500	400	300	0	0	0	200	400	600	800
I2w2, A	200	600	800	500	400	400	0	0	0	0
I3w3, A	0	0	0	200	600	500	500	600	400	300

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
I1w1, A	500	400	300	0	0	0	200	400	600	800
I2w2, A	200	600	800	500	400	400	0	0	0	—
I3w3, A	0	0	0	200	600	500	500	600	400	300

Примечания: а) вариант задания определяется по сумме двух последних цифр номера зачетной книжки из таблиц 1(П1) и 2(П1); б) материал стали сердечников выбирать по заданию преподавателя; в) направления МДС и потоков выбрать произвольно.