Трехфазные электрические цепи

1 Общие положения и определения

Трехфазной электрической цепью или трехфазной системой цепей называют такую систему, в которой действуют три синусоидальные ЭДС, одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые друг относительно друга по фазе на угол 120° и создаваемые общим источником энергии. Этим источником является трехфазный синхронный генератор.

Часть трехфазной системы, в которой может протекать один из ее токов, называется фазой. В каждой фазе следует различать начало (A, B, C) и конец (X, Y, Z).

Обмотки трехфазных генераторов, как правило, соединяются по схеме “звезда” (рисунок 4.1). Соединением в “звезду” называется такое, при котором три начала или три конца фаз соединяются в общую точку, называемую нулевой или нейтральной.

От начала обмоток A, B, C, и нейтральной точки N выводят провода, по которым энергия передается приемникам (потребителям). Провода, соединяющие начала обмоток источника и приемника называют линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки источника питания и приемника — нейтральным проводом или нейтралью.

Напряжения u_AB, u_BC, u_CA между линейными проводами (рисунок 4.1), называют — линейными напряжениями, а токи i_A, i_B, i_C в линейных проводах — линейными токами. Напряжения u_A, u_B, u_C между нейтральным проводом и соответствующими линейными проводами называют фазными напряжениями.

Положительное направление токов в линейных проводах принято в сторону потребителей, а в нейтральном проводе в сторону источника.

Приемниками электрической энергии могут быть включены в трехфазную сеть двумя способами: “звездой” или “треугольником”. На рисунке 4.2 представлена схема соединения генератора и нагрузки по схеме “звезда — звезда” с нейтральным проводом.

Напряжения U̇_a, U̇_b, U̇_c — фазные напряжения приемника, U̇_A, U̇_B, U̇_C — фазные напряжения генератора. Из схемы видно, что U̇_A = U̇_a, U̇_B = U̇_b, U̇_C = U̇_c (4.1).

Соотношения между линейными и фазными напряжениями определяются в общем случае по второму закону Кирхгофа (в геометрической или комплексной форме):

U̇_AB = U̇_A — U̇_B; U̇_BC = U̇_B — U̇_C; U̇_CA = U̇_C — U̇_A (4.2).

Для нагрузки:

U̇_ab = U̇_a — U̇_b; U̇_bc = U̇_b — U̇_c; U̇_ca = U̇_c — U̇_a (4.3).

При соединении потребителей “звездой”, когда U̇_A = U̇_B = U̇_C = U_Л, а U̇_a = U̇_b = U̇_c = U_Ф справедливо соотношение U_Л = √3 U_Ф (4.4).

Ток в нейтральном проводе определяется по первому закону Кирхгофа: İ_N = İ_A + İ_B + İ_C (4.5).

При симметричной нагрузке Ż_A = Ż_B = Ż_C = Ż_Ф, ток в нейтральном проводе отсутствует, поэтому необходимость в нем отпадает.

При несимметричной нагрузке Ż_A ≠ Ż_B ≠ Ż_C токи в фазах различны, но за счет нейтрального провода напряжения на каждой фазе приемника с изменением нагрузки остаются практически постоянными по величине и равными фазному напряжению генератора. Таким образом, нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Генератор и потребитель могут быть соединены по схеме “звезда — треугольник” (рисунок 4.3).

При соединении потребителя “треугольником” фазные напряжения всегда равны соответствующим линейным: U̇_ab = U̇_AB; U̇_bc = U̇_BC; U̇_ca = U̇_CA (4.6).

Фазные и линейные токи не равны между собой, соотношения между ними можно получить по первому закону Кирхгофа (в геометрической или комплексной форме):

İ_A = İ_AB — İ_CA; İ_B = İ_BC — İ_AB; İ_C = İ_CA — İ_BC (4.7).

Независимо от характера нагрузки геометрическая сумма линейных токов равна нулю: İ_A + İ_B + İ_C = 0 (4.8).

При симметричной нагрузке соотношение между модулями фазных I_Ф и линейных токов I_Л определяется выражением I_Л = √3 I_Ф (4.9).

2 Примеры расчетов трехфазных цепей

Задача № 1

К зажимам четырехпроводной сети, линейное напряжение которой равно 380 В, подключен несимметричный приемник, рисунок 4.4. Сопротивления нагрузки соответственно равны R_A = 40 Ом, X_A = 21 Ом, R_B = 50 Ом, X_C = 40 Ом. Определить токи в линейных и нулевом проводах, построить векторную диаграмму, сделать проверку на баланс мощности.

Решение

1. Определяем фазные напряжения приемников. Так как нейтральный провод не имеет сопротивления, он выравнивает потенциалы нейтралей источника и приемника. Поэтому фазные напряжения приемника будут равны фазным напряжением генератора, они имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты на углы 120°:

U̇_A = 220 В; U̇_B = 220 e^-j120° = 220(-0,5 — j0,866) = -110 — j190,52 В; U̇_C = 220 e^j120° = 220(-0,5 + j0,866) = -110 + j190,52 В (4.10).

2. Определяем комплексы полных сопротивлений нагрузки. В общем виде Ż = R ± jX (4.11), где «+» для индуктивности, «-» для емкости.

Полное комплексное сопротивление фазы A равно Ż_A = R_A + jX_A = 40 + j21 Ом (4.12).

Аналогично определяем полные комплексные сопротивления фаз B и C, так как сопротивления X_B и R_C отсутствуют, их значения принимаем равными нулю: Ż_B = 50 Ом (4.13); Ż_C = -j40 Ом (4.14).

3. Определяем токи, которые при соединении потребителей «звездой» являются и фазными и линейными токами:

İ_A = U̇_A / Ż_A = 220 / (40 + j21) = 4,31 — j2,21 А;

İ_B = U̇_B / Ż_B = (-110 — j190,52) / 50 = -2,2 — j3,81 А;

İ_C = U̇_C / Ż_C = (-110 + j190,52) / -j40 = -4,76 — j2,75 А (4.15).

4. Находим ток в нулевом проводе по первому закону Кирхгофа: İ_N = İ_A + İ_B + İ_C = -2,65 — j8,82 А (4.16).

5. Определяем модули токов: I_A = 4,87 А; I_B = 4,4 А; I_C = 5,5 А; I_N = 9,21 А (4.17).

6. Проверяем расчет на баланс мощности. Находим комплекс полной мощности нагрузки: Ṡ_H = İ_A²Ż_A + İ_B²Ż_B + İ_C²Ż_C = 1915,6 + j711,33 ВА (4.18).

Определяем комплекс полной мощности генератора: Ṡ_Г = U̇_Aİ_A^* + U̇_Bİ_B^* + U̇_Cİ_C^* = 1915,75 + j712,18 ВА (4.19).

Условие баланса мощности Ṡ_Н = Ṡ_Г с погрешностью менее 1%. Сходимость баланса мощности: ΔS = (S_Г — S_H) / S_Г * 100% = 0,02% < 1% (4.20).

Условия баланса мощности выполнены, следовательно, токи найдены правильно.

Задача № 2

В трехфазную сеть с линейным напряжением 120 В включена нагрузка, соединенная “треугольником”, рисунок 4.6. Сопротивления нагрузки соответственно равны R_AB = 5 Ом, R_BC = 2 Ом, X_BC = 4 Ом, R_CA = 4 Ом, X_CA = 8 Ом. Определить фазные и линейные токи, сделать проверку на баланс мощности, построить векторную топографическую диаграмму.

1. Определяем комплексные сопротивления фаз нагрузки согласно (4.11): Ż_AB = 5 Ом; Ż_BC = 2 + j4 Ом; Ż_CA = 4 + j8 Ом (4.21).

2. Находим комплексы напряжений на фазах нагрузки: U̇_AB = 120 В; U̇_BC = 120(-0,5 — j0,866) = -60 — j104 В; U̇_CA = 120(-0,5 + j0,866) = -60 + j104 В (4.22).

3. По закону Ома находим величину фазных токов:

İ_AB = U̇_AB / Ż_AB = 120 / 5 = 24 А;

İ_BC = U̇_BC / Ż_BC = (-60 — j104) / (2 + j4) = -14,78 — j22,4 А;

İ_CA = U̇_CA / Ż_CA = (-60 + j104) / (4 + j8) = 4,7 + j11,2 А (4.23).

4. Определяем линейные токи по первому закону Кирхгофа:

İ_A = İ_AB — İ_CA = 19,3 — j11,2 А;

İ_B = İ_BC — İ_AB = -38,78 — j22,4 А;

İ_C = İ_CA — İ_BC = 19,48 + j33,6 А (4.24).

5. Проверка на баланс мощности. Для определения мощности генератора потребуются комплексные значения фазных напряжений генератора, обмотки которого соединены в «звезду». Поскольку U_Л = 120 В, то U̇_A = 120 / √3 = 69,4 В (4.25).

U̇_B = 69,4(-0,5 — j0,866) = -34,7 — j60 В; U̇_C = 69,4(-0,5 + j0,866) = -34,7 + j60 В (4.26).

Определяем мощность генератора: Ṡ_Г = U̇_Aİ_A^* + U̇_Bİ_B^* + U̇_Cİ_C^* = 5040 + j1440 ВА (4.27).

Модули фазных токов: I_AB = 24 А; I_BC = 26,83 А; I_CA = 13,42 А (4.28).

Мощность нагрузки: Ṡ_H = İ_AB²Ż_AB + İ_BC²Ż_BC + İ_CA²Ż_CA = 5039,9 + j1439,9 ВА (4.29).

Сходимость баланса мощности: ΔS = (S_Г — S_H) / S_Г * 100% = 0,002% < 1% (4.30).

Условия баланса мощности выполнены, следовательно, токи найдены правильно.

3 Варианты для самостоятельного решения

В таблице 4.1 приведены данные к вариантам контрольных задач, на рисунках 4.8 — 4.31 даны схемы, которые необходимо рассчитать.

Номер варианта	Номер рисунка	UЛ, В	RA, Ом	RB, Ом	RC, Ом	XA, Ом	Xв Ом	Xс Ом	RAB, Ом	RBC, Ом	RCA, Ом	XAB, Ом	XBC, Ом	XCA, Ом
1	4.8	127	6	6	8	8	8
2	4.8	220	4	4	6	6	6
3	4.8	380	12	9	8	10	12
4	4.8	440	14	16	10	5	8
5	4.9	127	6	4	3	3	4
6	4.9	220	8	5	10	6	5
7	4.9	380	15	9	7	12	4
8	4.9	440	15	20	10	6	8
9	4.10	127	6	4	3	4	3
10	4.10	220	10	7	8	3	2
11	4.10	380	20	14	15	6	6
12	4.10	440	4	6	3	6	8
13	6.11	127							5	3	7	3	8	4
14	6.11	220							11	13	14	7	9	11
15	6.11	380							12	18	17	5	6	10
16	6.11	440							16	8	3	14	6	4
17	6.12	127							5	10	3	12	6	4
18	4.12	220							8	7	9	14	12	10
19	4.12	380							16	21	17	8	7	5
20	4.12	440							21	17	16	7	8	5

4 Контрольные вопросы

1. Трехфазная система токов (Что понимается под трехфазной системой тока, основоположник техники трехфазной системы тока, получение, аналитические выражения и графики мгновенных значений ЭДС трехфазного генератора).
2. Аналитические выражения и векторные диаграммы для действующих значений ЭДС. Обозначения, применяемые в трехфазных цепях для трехфазных машин. Способы соединения фаз генератора и нагрузки. Какова их основная цель?
3. Соединения звездой (симметричная и несимметричная звезда, фазовые и линейные токи и напряжения). Связь между фазовыми и линейными токами и напряжениями в несимметричной звезде (вывод формул, векторные диаграммы). Тоже для симметричной звезды. Роль нулевого провода в трехфазных четырехпроводных цепях.
4. Соединение треугольником (определение, схема) соотношение между фазовыми и линейными токами и напряжениями в несимметричном треугольнике (вывод формул, векторные диаграммы). Тоже для симметричного треугольника.
5. Активная мощность симметричной трехфазной цепи, (вывод универсальной формулы для соединения звездой и треугольником). Реактивная и полная мощности симметричной трехфазной цепи (аналитические выражения, единицы измерения, треугольник мощностей).