RBC Theory and Economic Policy: Midterm Exam

RBC Theory and Economic Policy

Spring 2021
Lecturer: Tamara Vovchak
Midterm Exam

Instructions:

1. You have 90 minutes to complete the exam.
2. The exam is worth a total of 100 points.
3. Allocate your time wisely. Use the number of points assigned to each problem as your guide.
4. Any violation of academic honesty will be punished to the fullest extent possible.
5. Write your name on the exam booklet.

This exam will count for 30% of your final grade from the course. Good luck!

Инструкции:

1. У вас есть 90 минут на решение задач.
2. Контрольная работа состоит из 100 баллов.
3. Распределяйте свое время с умом. Используйте количество баллов, присваиваемое каждому заданию, в качестве руководства.
4. Любое нарушение академической честности будет сурово наказано.

Контрольная работа составляет 30% от вашей итоговой оценки за курс. Удачи!

Problems:

1. (24 points) Provide the answers to the following questions:

• a) (4 points) Write definition for Real Business Cycle.
• b) (8 points) How the RBS model differ from the neoclassical growth model? Why we modify the neoclassical growth model this way?
• c) (4 points) How the RBC theory explain fluctuations in the real variables?
• d) (4 points) How the volatility of output Y is related to the volatility of consumption C, investment I, employment L and real wages w?
• e) (4 points) Write down failures of RBC models.

1. (24 балла) Ответьте на следующие вопросы:

• a) (4 points) Напишите определение понятия Реальные Бизнес Циклы.
• b) (8 points) Чем модель Реальных Бизнес Циклов отличается от Неоклассической модели роста? Для чего мы меняем Неоклассическую модель роста таким образом?
• c) (4 points) Как теории Реальных Бизнес Циклов объясняют колебания реальных переменных?
• d) (4 points) Как волатильность выпуска Y связана с волатильностью потребления C, инвестиций I, занятости L и реальной заработной платы w?
• e) (4 points) Перечислите недостатки РБЦ моделей.

2. (38 points) Consider a model from the class, where all agents are identical and a representative agent maximizes utility:

U = E_t Σ^∞_t=0 β^t [u(c_t, 1 − l_t)].

But now the instantaneous utility function is given by:

u_t = (1 − b) c^1−σ_t / (1 − σ) + b (1 − l_t)^1−γ / (1 − γ). b > 0, σ, γ > 0.

Assume that the household lives for two periods and that there is uncertainty about values of future variables.

Firm’s production function is Cobb-Douglas:

Y_t = K^α_t (A_tL_t)^1−α, 0 < α < 1,

where Y_t is output, K_t is capital input, L_t is the labor input and A_t is the productivity shock, which realizes at the beginning of date t. The shock A_t evolves according to:

lnA_t = ¯A + g_t + eA_t,

where ¯A is a constant and eA_t is a cyclical component that evolves according to an AR(1) process:

eA_t = ρ_A eA_t−1 + ε_t,

ε_t has zero mean and its distribution is independent and identical across dates.

The output can be consumed or invested: Y_t = C_t + I_t.

Capital evolves according to:

K_t+1 = (1 − δ) K_t + I_t

where I_t is investment and depreciation rate 0 < δ < 1. K₀ is given.

As in the class, assume that there is no government purchases and capital depreciation, δ = 1.

Consider the household optimization problem:

• a) (7 points) Find the intratemporal first-order condition that relates current leisure and consumption, given the wage.
• b) (7 points) Find the intertemporal first-order condition that relates current and future consumption (the Euler equation), given the rental rate of capital.
• c) (17 points) Log-linearize the Euler equation c^−σ_t = βE_t [αK^α−1_t+1 (A_t+1L_t+1)^1−α · c^−σ_t+1] around the balanced growth path.
• d) (7 points) Log-linearize the intratemporal first-order condition b (1 − l_t)^−γ = (1 − b) c^−σ_t (1−α) (K_t / L_t)^α A^1−α_t around the balanced growth path.

2. (38 баллов) Рассмотрим следующую модель, где все агенты идентичны и репрезентативный агент максимизирует полезность:

U = E_t Σ^∞_t=0 β^t [u(c_t, 1 − l_t)].

Мгновенная функция полезности имеет вид:

u_t = (1 − b) c^1−σ_t / (1 − σ) + b (1 − l_t)^1−γ / (1 − γ). b > 0, σ, γ > 0.

Предположим, что агент живет в течение двух периодов, и что существует неопределенность в отношении будущих значений переменных.

Производственная функция фирмы задана в форме Кобба-Дугласа:

Y_t = K^α_t (A_tL_t)^1−α, 0 < α < 1,

где Y_t — выпуск, K_t это капитальные затраты, L_t затраты труда и A_t технологический шок, который реализуется в начале периода t. Шок A_t развивается в соответствии с:

lnA_t = ¯A + g_t + eA_t,

где ¯A — константа и eA_t — циклическая компонента, которая является авторегрессионным процессом первого порядка AR(1):

eA_t = ρ_A eA_t−1 + ε_t,

ε_t имеет нулевое среднее значение и его распределение является независимым и идентичным по датам.

Выпуск может быть потреблен или инвестирован: Y_t = C_t + I_t.

Закон движения капитала задан уравнением:

K_t+1 = (1 − δ) K_t + I_t

где I_t — инвестиции, и амортизация 0 < δ < 1. Начальный капитал K₀ дан.

Как и в классе, предположим, что в модели нет государственных закупок и амортизации капитала, δ = 1.

Рассмотрим задачу оптимизации агента:

• a) (7 points) Найдите внутривременное условие первого порядка, которое связывает текущий досуг и потребление.
• b) (7 points) Найдите межвременное условие первого порядка, которое связывает текущее и будущее потребление (уравнение Эйлера).
• c) (17 points) Лог-линеаризуйте уравнение Эйлера c^−σ_t = βE_t [αK^α−1_t+1 (A_t+1L_t+1)^1−α · c^−σ_t+1] вокруг траектории сбалансированного роста.
• d) (7 points) Лог-линеаризуйте внутривременное условие первого порядка b (1 − l_t)^−γ = (1 − b) c^−σ_t (1−α) (K_t / L_t)^α A^1−α_t вокруг траектории сбалансированного роста.

3. (38 points) Consider an economy consisting of a constant population of infinitely lived individuals.

The representative individual maximizes the expected value of utility:

U = E_t Σ^∞_t=0 1 / (1+ρ)^t [u(C_t)], ρ > 0.

But now the instantaneous utility function is given by:

u_t = (C_t + υ_t)^1−σ / (1 − σ), σ > 0.

The υ’s are mean-zero, i.i.d. shocks. Assume that C is always in the range where u′ (C) is positive.

Output is linear in capital: Y_t = AK_t. There is no depreciation δ = 1, thus:

K_t+1 = K_t + Y_t − C_t

K₀ is given and the interest rate is A. Assume A = ρ.

• a) (20 points) Derive the equilibrium conditions for this model. Solve for competitive equilibrium by finding Social optimum:
  • define state and control variables;
  • write down Bellman equation;
  • do the optimization and derive intertemporal first-order condition (Euler equation) relating C_t and expectations of C_t+1.
• b) (4 points) Guess that consumption takes the form C_t = α + βK_t + γυ_t. Given this guess, what is K_t+1 as a function of K_t and υ_t?
• c) (4 points) What values must the parameters α, β and γ have for the first-order condition in (a) to be satisfied for all values of K_t and υ_t?
• d) (10 points) What are the effects of a one-time shock to υ on the path of Y, K and C? Take υ_t = 1 + A.

3. (38 баллов) Рассмотрим экономику, которая состоит из постоянного количества бесконечно живущих агентов.

Репрезентативный агент максимизирует ожидаемую полезность:

U = E_t Σ^∞_t=0 1 / (1+ρ)^t [u(C_t)], ρ > 0.

Мгновенная функция полезности имеет вид:

u_t = (C_t + υ_t)^1−σ / (1 − σ), σ > 0.

Шок υ имеет нулевое среднее значение и его распределение является независимым и идентичным по датам.

Предположим, что C всегда находится в диапазоне, где u′ (C) является положительной.

Выпуск линейно зависит от капитала: Y_t = AK_t. Предположим, что амортизации нет δ = 1, поэтому:

K_t+1 = K_t + Y_t − C_t

K₀ дан и процентная ставка равна A. Пусть A = ρ.

• a) (20 points) Выведите состояние равновесия для этой модели. Найдите конкурентное равновесие через социальный оптимум:
  • Определите переменные состояния и управляющие переменные;
  • Запишите уравнение Беллмана;
  • Найдите межвременное условие первого порядка (уравнение Эйлера), которое связывает C_t и ожидания C_t+1.
• b) (4 points) Предположите, что потребление принимает форму C_t = α + βK_t + γυ_t. Учитывая это предположение, найдите K_t+1 как функцию от K_t и υ_t?
• c) (4 points) Какие значения должны принять параметры α, β и γ, чтобы условие первого порядка в (a) выполнялось для всех значений K_t и υ_t?
• d) (10 points) Как повлияет одноразовый шок υ на траектории Y, K и C? Возьмите υ_t = 1 + A.