Цепи постоянного тока

1 Общие положения и определения

Электрической цепью называется совокупность источников электрической энергии (генераторов), приемников (потребителей) и соединяющих их проводов, по которым электрическая энергия от источников передается потребителю.

Источники электрической энергии постоянного тока – это гальванические элементы, аккумуляторы, электромеханические генераторы и другие устройства, которые преобразуют химическую, механическую, тепловую, световую и другие виды энергии в электрическую. На схемах источники энергии обозначаются так, как показано на рисунке 2.1.

Основное назначение источника энергии – создать и постоянно поддерживать в цепи разность потенциалов, под воздействием которой и образуется упорядоченное движение электрических зарядов, т.е. ток — I.

Рисунок 2.1 – Условные обозначения источников электрической энергии

• а) электромеханический генератор;
• б) гальванический или аккумуляторный элементы;
• в) термоэлектрический генератор;
• г) обозначение идеального источника ЭДС постоянного тока в схемах замещения.

Разность электрических потенциалов количественно определяется величиной, которая называется электродвижущей силой (ЭДС). Она обозначается буквой — E и измеряется в вольтах (В):

E = φ1 — φ2 (2.1), где φ1 — потенциал точки 1 цепи; φ2 — потенциал точки 2 цепи.

Работу источника принято оценивать с помощью внешней характеристики, которая показана на рисунке 2.2. Из характеристики видно, что с увеличением тока, напряжение на клеммах источника уменьшается за счет потери напряжения на его внутреннем сопротивлении:

U = E — ΔU (2.2), где ΔU = I * R0.

Приемники и характеристики

Приемники электрической энергии – это электрические лампы, нагревательные приборы, электродвигатели и другие устройства. В приемниках (потребителях) электроэнергия преобразуется в световую, тепловую, механическую и прочие виды. Условные обозначения приемников на схемах замещения показаны на рисунке 2.3.

Основной характеристикой приемника (нагрузки или потребителя) является вольтамперная характеристика (рисунок 2.4). Нагрузки бывают линейными и нелинейными.

Линейным элементом или нагрузкой называют такой, сопротивление которого при любых значениях тока через него, остается постоянным, а вольтамперная характеристика представляет собой прямую линию. Только линейные элементы подчиняются закону Ома.

Нелинейным элементом называется такой, сопротивление которого не постоянно и зависит от величины тока, проходящего через него, а вольтамперная характеристика представляет собой кривую линию.

Все электрические цепи делятся на два класса: линейные и нелинейные. Электрические цепи, содержащие только элементы с линейными вольтамперными характеристиками, называются линейными цепями. Если в цепи содержится хотя бы один элемент с нелинейной вольтамперной характеристикой, то цепь называется нелинейной цепью.

Простые и сложные цепи

Электрические цепи подразделяются на простые и сложные.

Простой цепью называется такая цепь, в которой имеется единственный путь для тока (рисунок 2.5). Простые линейные электрические цепи решаются на основе закона Ома:

I = E / (R0 + R) (2.3), где R0 — внутреннее сопротивление источника питания; R — эквивалентное сопротивление всей цепи.

Сложной цепью называется такая, в которой имеется три или более пути для тока. Сложная цепь состоит из узлов, ветвей и контуров (рисунок 2.6).

Узлами называют точки цепи, в которых соединяются между собой три или более проводников. Часть цепи между узлами называется ветвью. Ветви бывают активные и пассивные. Активная ветвь содержит ЭДС. Пассивной ветвью называют такую, которая содержит только сопротивление. В электрической цепи столько токов, сколько ветвей.

2 Основные расчетные соотношения в цепях постоянного тока

При расчетах сложных цепей используют формулы последовательного, параллельного, смешанного соединения сопротивлений, перехода от “треугольника” к “звезде” сопротивлений и обратно. Сложные (разветвленные) цепи рассчитываются при помощи законов Кирхгофа.

2.1 Последовательное соединение

Последовательным соединением называется такое, при котором через все элементы цепи проходит один и тот же ток (рисунок 2.7). Согласно схеме имеем:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn = Σ Ri (2.4).

При последовательном соединении сопротивлений общее сопротивление всегда равно их сумме. Если R1 = R2 = … = Rn, то R’экв = nR.

2.2 Параллельное соединение

Параллельным соединением сопротивлений называется такое соединение, при котором все сопротивления находятся под воздействием одного и того же напряжения (рисунок 2.8).

При двух сопротивлениях (рисунок 2.8, а):

1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 (2.5), отсюда Rэкв = (R1 * R2) / (R1 + R2) (2.6).

При соединении сопротивлений более двух (рисунок 2.8, б), получим:

1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn (2.7).

Если R1 = R2 = … = Rn, то Rэкв = R / n (2.8).

2.3 Смешанное соединение

Для смешанного соединения (рисунок 2.9) имеем:

Rэкв = R1 + (R2 * R3) / (R2 + R3) (2.9).

2.4 Преобразование «треугольника сопротивлений» в «звезду сопротивлений»

Впервые данное преобразование осуществлено итальянским ученым Кеннели (прямое преобразование).

R4 = (R1 * R2) / (R1 + R2 + R3); R5 = (R1 * R3) / (R1 + R2 + R3); R6 = (R2 * R3) / (R1 + R2 + R3) (2.10).

Если R1 = R2 = R3 = RΔ, то R1 = R2 = R3 = RΥ и RΥ = RΔ / 3 (2.11).

2.5 Преобразование «звезды сопротивлений» в «треугольник сопротивлений»

Формулы преобразования (рисунок 2.11):

R12 = (R1 * R2 + R2 * R3 + R3 * R1) / R3; R23 = (R1 * R2 + R2 * R3 + R3 * R1) / R1; R13 = (R1 * R2 + R2 * R3 + R3 * R1) / R2 (2.12).

Эти же соотношения в проводимостях (g = 1/R):

g12 = (g1 * g2) / (g1 + g2 + g3); g23 = (g2 * g3) / (g1 + g2 + g3); g13 = (g1 * g3) / (g1 + g2 + g3) (2.13).

Для симметричного случая имеем RΔ = 3 * RΥ (2.14).

2.6 Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа управляет узлами, а второй ветвями (контурами) цепи.

Первый закон Кирхгофа: В любом узле сложной цепи, алгебраическая сумма токов равна нулю: Σ Ii = 0 (2.15). Условно токи, направленные к узлу берутся со знаком плюс, а токи, направленные от узла со знаком минус. Число уравнений по первому закону Кирхгофа равно n — 1, где n — общее число узлов в цепи.

Второй закон Кирхгофа: В любом контуре сложной цепи, алгебраическая сумма ЭДС и напряжений, действующих в этом контуре, всегда равна нулю: Σ E = Σ U (2.17). Число уравнений по второму закону Кирхгофа определяется: q — n + 1, где q – число ветвей в цепи, n – число узлов в цепи.

2.7 Метод линейных преобразований

Данный метод основан на использовании закона Ома и формул последовательного, параллельного, смешанного соединения сопротивлений, а также перехода от соединения сопротивлений в треугольник к звезде наоборот. Сначала сложная цепь свертывается до предельно простой и решается по закону Ома – прямой путь. Затем, полученное решение развертывается до заданной конфигурации цепи – обратный путь. Основное условие применимости метода – в цепи должен быть только один источник питания.

Задача № 1

Дано: E=30 В, R1=2 Ом, R2=12 Ом, R3=2 Ом, R4=2 Ом, R5=4 Ом, R6=12 Ом. (Рисунок 2.12).

Решение:

1. Свертываем цепь (прямой путь):

• R7 = R4 + R5 = 2 + 4 = 6 Ом (2.21).
• R8 = (R6 * R7) / (R6 + R7) = (12 * 6) / (12 + 6) = 4 Ом (2.22).
• R9 = R3 + R8 = 2 + 4 = 6 Ом (2.23).
• R10 = (R2 * R9) / (R2 + R9) = (12 * 6) / (12 + 6) = 4 Ом (2.24).
• Rэкв = R1 + R10 = 2 + 4 = 6 Ом (2.25).

Ток I1 = E / Rэкв = 30 / 6 = 5 А (2.26).

Продолжение решения задачи № 1

2. Развертываем решение (обратный путь):

Находим токи I2 и I3 (по формуле разброса):

I2 = I1 * (R9 / (R2 + R9)) = 5 * (6 / 18) = 1,66 А; I3 = I1 * (R2 / (R2 + R9)) = 5 * (12 / 18) = 3,33 А (2.27).

Переходя к рисунку 2.13, определяем токи I4 и I5:

I4 = I3 * (R7 / (R6 + R7)) = 3,33 * (6 / 18) = 2,22 А; I5 = I3 * (R6 / (R6 + R7)) = 3,33 * (12 / 18) = 1,11 А (2.28).

3. Проверка результатов (баланс токов, мощностей и напряжений) подтверждает правильность расчетов с погрешностью менее 1%.

2.8 Варианты заданий для самостоятельного решения

Таблица 2.1 содержит 100 вариантов заданий с различными параметрами E и R1-R6 для схем, представленных на рисунках 2.18–2.37.

Номер варианта	Номер рисунка	E, B	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом
1	2.18	90	23	14	8	11	10	—
…	…	…	…	…	…	…	…	…
100	2.37	30	7	5	3	8	3	—

2.9 Метод контурных токов

Данный метод основан на применении законов Кирхгофа. Цепь разбивается на независимые контуры. Каждому контуру присваивается свой ток, который называется контурным. Контурных токов столько, сколько независимых контуров в цепи. Число расчетных уравнений получается меньше числа искомых реальных токов.

Задача № 2

Дано: E1=20 В, E2=10 В, E3=20 В, R1=4 Ом, R2=5 Ом, R3=6 Ом, R4=10 Ом. (Рисунок 2.38).

Решение:

1. Определяем число независимых контуров: Ч.Н.К. = q — n + 1 = 3 — 2 + 1 = 2 (2.38).

2. Составляем систему уравнений (2.40) и решаем её относительно контурных токов J1 и J2.

3. Находим реальные токи I1, I2, I3 через контурные токи (2.44).

2.10 Варианты заданий для самостоятельного решения (Задача № 2)

Таблица 2.2 содержит 100 вариантов заданий для метода контурных токов (схемы 2.41–2.60).

Номер варианта	Номер рисунка	R1	R2	R3	R4	R5	R6	E1	E2	E3
1	2.41	1	1	1	6	6	4	12	5	10
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
100	2.60	1	2	4	10	5	1	30	20	15

2.11 Контрольные вопросы

1. Цепи постоянного тока (состав и особенности элементов цепи, где применяются). Режимы работы электрической цепи (холостой ход, нормальный, номинальный, короткозамкнутый).
2. Сложная цепь, ветви, узлы. Первый и второй законы Кирхгофа. Закон сохранения энергии.
3. Расчет цепи постоянного тока методом законов Кирхгофа (разобрать на примере).
4. Расчет цепи постоянного тока методом контурных токов (разобрать на примере).
5. Эквивалентные преобразования в цепях постоянного тока при последовательном, параллельном и смешанном соединениях сопротивлений. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду.