Данный материал представляет собой структурированный сборник задач по дисциплине «Экономико-математическое моделирование». В документ включены задания на формирование кластеров иерархическим методом, расчеты в рамках межотраслевого баланса (модель Леонтьева), анализ производственных функций Кобба-Дугласа, решение задач на условный экстремум, а также оценка целесообразности открытия филиала на основе вероятностных моделей и анализа безубыточности.
Задача: Кластерный анализ
Дано:
- Кол-во объектов (стран): m = 6 (i=1:6)
- Кол-во показателей (признаков): n = 2 (j=1 и 2) (например: доход на душу населения, численность населения).
- Матрица значений для всех 6 объектов обоих показателей 6,2.
Требуется:
- Сформировать кластеры иерархическим методом.
- Построить соответствующую дендрограмму.
Задача: Межотраслевая модель (2 отрасли)
Исходные данные: Рассматривается 2-х отраслевая модель (n=2). Дано балансовое уравнение для каждой из 2-х соответствующих строк.
Найти:
- Матрицу прямых затрат (A).
- Вектор валового продукта (X), если конечный продукт (Y) 1-й отрасли должен увеличиться вдвое, а 2-й отрасли – на 20% (т.е. решить с.л.у. (E – A) X = Y0, причём двумя методами: а) методом Крамера и б) методом обратной матрицы).
- Установить продуктивность матрицы A.
Задача: Межотраслевой баланс (3 отрасли)
Исходные данные: Для 3-х отраслевой модели (n=3) экономической системы дано:
- Матрица прямых затрат A.
- Вектор конечной продукции Y.
Требуется:
- Заполнить схему МОБ (4 квадранта).
- Построить приближённый мультипликатор Леонтьева, ограничившись косвенными затратами вплоть до 2-го порядка включительно (т.е. степенями матрицы A вплоть до 3-го порядка включительно).
Задача: Анализ производственной функции
Исходные данные: Дана ПФКД (Производственная функция Кобба-Дугласа).
Найти:
- Средние и предельные производительности капитала и труда и их норму замещения при затратах этих факторов в 400 и 200 единиц (Д/З: 300 и 100 единиц).
- Уравнение изокванты – неявное и явное.
Задача: Условный экстремум
Исходные данные:
- Дана ПФ (ЦФ-я) трёх переменных: u = f(x, y, z), где:
- u – объём выпуска готовой продукции;
- x – численность рабочих (зарплата рабочих);
- y – производственные фонды (затраты на покупку оборудования);
- z – объём использованных станко-часов.
- Даны линейные ограничения на переменные.
Требуется: найти максимальный объём выпуска продукции при указанных ограничениях (т.е. решить указанную задачу на условный экстремум).
Задача: Оценка целесообразности открытия филиала
Установить целесообразность открытия филиала при следующих исходных данных:
- Известен эмпирический закон распределения числа покупателей (за месяц) в потенциальном филиале фирмы:
| ξ (покупатели) | 2 000 | 4 000 | 6 000 |
|---|---|---|---|
| Вероятности (субъективные) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
- Известна цена изделия d = 400 руб.
- Известны следующие ожидаемые постоянные и переменные расходы в филиале:
| Статьи расходов | Постоянные (руб.) | Переменные (руб.) |
|---|---|---|
| 1. Зарплата (АУП) | 100 000 | 1. Зарплата основных рабочих: 60 |
| 2. Амортизационные отчисления | 100 000 | 2. Отчисления с зарплаты (страховые взносы: 30% от З/П): 20 |
| 3. Общезаводские расходы | 80 000 | 3. Материалы: 150 |
| 4. Коммунальные услуги | 20 000 | 4. Полуфабрикаты: 90 |
Задача: Модель международной торговли
Исходные данные:
- Дана структурная м-ца м/н торговли трёх стран (n = 3): A.
- Задан суммарный бюджет (Н/Д) этих стран Д = 900.
Найти: вектор бюджетов рассматриваемых стран при условии бездефицитной (взаимовыгодной) их торговли друг с другом.