В статье представлен сборник прикладных задач по статистике, охватывающий ключевые темы дисциплины. Рассматриваются методы ранговой корреляции Спирмена, построение доверительных интервалов для среднего значения и доли, проверка статистических гипотез с использованием критериев Стьюдента и нормального распределения. Также включены задачи на анализ дифференциации доходов населения, расчет моды, медианы, децильных коэффициентов и коэффициента Джини на основе статистических таблиц.
- Ранговая корреляция Спирмена
- Доверительные интервалы и объем выборки
- Оценка параметров отрасли
- Анализ производства зерна
- Доверительные интервалы для доли
- Срок службы изделий
- Проверка гипотезы о времени сборки
- Проверка гипотезы о доле
- Сравнение средних двух выборок
- Анализ дефектности счетов
- Распределение доходов домохозяйств Швеции
- Прогноз результатов выборов
- Анализ доходов населения Ростовской области
Ранговая корреляция Спирмена
Два эксперта проранжировали 11 фирм в порядке их привлекательности для инвестиций. Получены следующие последовательности рангов фирмы:
| ri | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| si | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 | 9 | 8 | 11 | 6 | 7 | 10 |
Проверить с помощью коэффициента Спирмена, насколько согласуются мнения экспертов.
Доверительные интервалы и объем выборки
Импортер упаковывает чай в пакеты. Известно, что наполняющая машина работает со средним квадратическим отклонением, равным 1 г. Выборка 50 пакетов показала средний вес 125,18 г. Найти доверительный интервал для среднего веса пакета с вероятностью 95%. Найти объем выборки n, при котором точность интервала составила бы 0,2 г. Генеральная совокупность распределена нормально.
Оценка параметров отрасли
Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают 77,5 человек при выборочном среднем квадратическом отклонении 25 человек. Пользуясь 95%-ным доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее число работающих в отрасли. Предполагается, что случайное число работников фирмы описывается нормальным распределением.
Анализ производства зерна
Производство зерна в России в 1996-2002 гг. составляло в среднем 71,11 млн. тонн в год с выборочным средним квадратическим отклонением 16,26 млн. тонн. Построить доверительные интервалы для среднего объема производства и для следующего наблюдения с надежностью 95%, используя нормальное приближение.
Доверительные интервалы для доли
В случайной выборке из 300 аспирантов, специализирующихся по управлению предприятиями, составленной по нескольким основным университетам, 180 человек оказались детьми бизнесменов. Построить доверительные интервалы с надежностью 90% для доли аспирантов, являющихся детьми бизнесменов, и числа таких аспирантов среди 2000 аспирантов.
Срок службы изделий
В выборке из 100 изделий средний срок службы изделия составил 1000 часов. Построить доверительный интервал для среднего срока службы изделия с вероятностью 90%. Время службы изделия распределено по показательному закону.
Проверка гипотезы о времени сборки
Среднее время сборки изделия было 90 мин. Инженер изобрел новый метод сборки этого изделия. В результате времена сборки 10 изделий новым способом составили: 79, 74, 112, 95, 83, 96, 77, 84, 70, 90 мин. Можно ли утверждать, что среднее время сборки сократилось (на уровне значимости 5%)? указание: использовать критические точки Стьюдента
Проверка гипотезы о доле
По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота w=0,15. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0: р=0,17 при конкурирующей гипотезе Н1: р≠0,17.
Сравнение средних двух выборок
По двум независимым выборкам с объемами n=10 и m=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние, равные 14,3 и 12,2 соответственно. Генеральные дисперсии известны: sx2 = 22, sy2 = 18. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0: ax=ay при конкурирующей гипотезе Н1: ax > ay.
Анализ дефектности счетов
Аудиторы компании интересуются системой обработки счетов доходов. Они взяли случайную выборку из 100 законченных счетов, в которой 8 счетов оказались дефектными. Тогда аудиторы предложили некоторые модификации в процедуре и через определенное время провели случайную выборку из 150 завершенных счетов, где обнаружили 6 дефектных счетов. Имеется ли основание предполагать на уровне значимости 5%, что новые процедуры уменьшают ошибку?
Распределение доходов домохозяйств Швеции
Имеются данные о распределении домашних хозяйств Швеции по величине годового располагаемого дохода в 2007 г.
| Годовой располагаемый доход, тыс. долл. | Число домашних хозяйств, в % к итогу |
|---|---|
| 5-10 | 0,2 |
| 10-15 | 1,4 |
| 15-25 | 14,0 |
| 25-35 | 28,8 |
| 35-45 | 22,9 |
| 45-55 | 12,6 |
| 55-65 | 4,5 |
| 65-75 | 6,0 |
| свыше 75 | 9,6 |
| Итого | 100 |
Определить: 1) средний уровень годового располагаемого дохода на основе средней арифметической, моды и медианы; 2) показатели дифференциации доходов: децильный коэффициент и коэффициент Джини.
Прогноз результатов выборов
В выборах мэра примут участие около 1 млн. избирателей. Кандидат Р. будет выбран, если за него проголосуют более 50% избирателей. Накануне выборов проведен опрос случайно отобранных 1000 избирателей: 540 из них сказали, что будут голосовать за Р. Можно ли при уровне доверительной вероятности 0,954 утверждать, что Р. победит на выборах?
Анализ доходов населения Ростовской области
Имеются данные о распределении населения Ростовской области по размеру среднедушевых денежных доходов в 2005 году. Рассчитайте среднедушевой доход, показатели вариации (на основе дисперсии и отклонения по модулю, децильные коэффициенты дохода, квантили (1 и 4)). Сколько % населения имеют доходы ниже прожиточного минимума в 2648 руб.?
| xk-1-xk | wi | xi | Pi(%) | Середина интервала XiWi | Накопленная частость | Плотность распределения yk=wi/Δxi | xi-x | |xi-x|wi | (xi-x)2wi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| до 1 | 1,2 | 0,75 | 0,9 | 1,2 | 2,4 | -4,368 | 5,2416 | 22,89531 | — |
| 1-1,5 | 3,5 | 1,25 | 4,375 | 4,7 | 7 | -3,868 | 13,538 | 52,36498 | — |
| 1,5-2,0 | 5,5 | 1,75 | 9,625 | 10,2 | 11 | -3,368 | 18,524 | 62,38883 | — |
| 2-3 | 14,1 | 2,5 | 35,25 | 24,3 | 14,1 | -2,618 | 36,9138 | 96,64033 | — |
| 3-4 | 14,3 | 3,5 | 50,05 | 38,6 | 14,3 | -1,618 | 23,1374 | 37,43631 | — |
| 4-5 | 12,4 | 4,5 | 55,8 | 51,0 | 12,4 | -0,618 | 7,6632 | 4,735858 | — |
| 5-7 | 18,1 | 6 | 108,6 | 69,1 | 9,05 | 0,882 | 15,9642 | 14,08042 | — |
| свыше 7 | 30,9 | 8 | 247,2 | 100,0 | 15,45 | 2,882 | 89,0538 | 256,6531 | — |
| Итого | 100,0 | — | 511,8 | — | — | — | — | 210,036 | 547,1951 |