Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике

Институт: ИЭиТ, третий семестр

Группы: 4931101/00001, 4931101/00002, 4931102/00001, 4931102/00002, 4931102/00003

1. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность отображений из Rn в Rm. Теорема о непрерывности сложного отображения, следствие.
2. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши о промежуточном значении.
3. Равномерная непрерывность, примеры. Теорема Кантора.
4. Частные производные: определение, примеры. Дифференцируемость отображения в точке. Необходимое условие дифференцируемости в точке.
5. Достаточное условие дифференцируемости в точке.
6. Дифференцируемость сложного отображения, Следствие. Пример.
7. Дифференциал функции: определение, примеры, свойства. Инвариантность формы первого дифференциала.
8. Частные производные старших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка. Следствие. Непрерывно дифференцируемые функции и отображения.
9. Дифференциалы старших порядков, пример. Формула для второго дифференциала. Символическая формула для дифференциалов высших порядков.
10. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

11. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
12. Теорема о неявной функции. Формулировка теоремы о неявном отображении.
13. Производная по направлению, градиент. Максимальное значение производной по направлению.
14. Касательная плоскость. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявно.
15. Локальный и строгий локальный экстремумы функции нескольких вещественных переменных: определение, примеры. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции.
16. Достаточное условие локального экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции.
17. Условный экстремум: постановка задачи, уравнения связи, метод подстановки, примеры.
18. Функция Лагранжа. Формулировка необходимого условия условного экстремума. Примеры. Геометрический смысл множителей Лагранжа.
19. Необходимое условие условного экстремума дифференцируемой функции. Формулировка достаточного условия условного экстремума.
20. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка, задача Коши, примеры.

21. Условие Липшица. Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения. Примеры.
22. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Примеры.
23. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
24. Уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие для односвязной области (доказательство для прямоугольника). Интегрирующий множитель, пример.
25. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной: задача Коши, особые решения, решение методом введения параметра, пример.
26. Нормальные системы дифференциальных уравнений (векторная и координатная формы записи). Фазовое пространство. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
27. Дифференциальные уравнения порядка n: определение, связь с нормальными системами дифференциальных уравнений. Задача Коши, формулировка теоремы существования и единственности.
28. ЛНЗ системы функций, определитель Вронского. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n. Теорема об определителе Вронского совокупности решений.
29. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n: ФСР, существование ФСР, общее решение.
30. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n: структура решений, импульсная функция, представление частного решения с помощью импульсной функции.

31. Представление импульсной функции с помощью ФСР. Пример применения импульсной функции при решении линейного неоднородного уравнения.
32. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n: метод вариации произвольных постоянных.
33. Дифференцирование и интегрирование комплекснозначных функций. Примеры.
34. Формулировка теоремы о ФСР линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство того, что функции теоремы являются решениями.
35. Формулировка теоремы о ФСР линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство того, что система функций теоремы является ЛНЗ.
36. Дифференцирование и интегрирование отображений, значениями которых являются матрицы. Системы линейных дифференциальных уравнения: координатная и векторная формы записи, задача Коши.
37. ЛНЗ системы вектор-функций. Определитель Вронского системы вектор-функций. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений, теорема об определителе Вронского.
38. ФСР системы линейных однородных дифференциальных уравнений: существование, свойства.
39. Импульсная матрица. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с помощью импульсной матрицы. Метод вариации произвольной постоянной.
40. Матричная экспонента. Представление фундаментальной матрицы системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами матричной экспонентой.

41. ФСР системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай матрицы простой структуры). Метод исключения, метод неопределенных коэффициентов.
42. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
43. Теорема о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра.
44. Теорема о перестановке повторных интегралов.
45. Непрерывность и дифференцируемость интеграла, зависящего от параметра (Случай, когда пределы интегрирования также зависят от параметра).
46. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра, примеры. Критерий Коши равномерной сходимости (формулировка). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра.
47. Признак Абеля равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра.
48. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра.
49. Теорема о перестановке несобственных интегралов (случай замкнутого промежутка).
50. Теорема о перестановке несобственных интегралов (несобственный случай).

51. Теорема о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра.
52. Доказать, что ∫₀∞ e⁻ˣ² dx = √π / 2, следствие.
53. Доказать, что ∫₀∞ sin x / x dx = π / 2, следствие.
54. Доказать, что ∫₀⁺∞ e⁻αx² cos βx dx = 1/2 * √(π/α) * e⁻β² / 4α, α > 0.
55. Доказать, что ∫₀⁺∞ sin x² dx = ∫₀⁺∞ cos x² dx = 1/2 * √(π/2).
56. Бета-функция: различные интегральные представления, свойства.
57. Гамма-функция: непрерывность, дифференцируемость, свойства, построение графика.
58. Связь между бета- и гамма-функцией.
59. Формула дополнения.
60. Формула Лежандра.

61. Прямое и обратное преобразования Фурье. Примеры (Фурье-образ функции e⁻x²/2 и характеристической функции промежутка; их обратные преобразования). Формулировка теоремы о разложении функции в интеграл Фурье.
62. Прямые и обратные косинус- и синус-преобразования. Вычисление ∫₀⁺∞ cos xy / (a² + y²) dy и ∫₀⁺∞ y sin xy / (a² + y²) dy.

Литература:

• А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин – Курс математического анализа
• А.П. Аксенов – Математический анализ
• А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников – Дифференциальные уравнения
• М.В. Федорюк – Обыкновенные дифференциальные уравнения