Глава 1. Основы математической логики

1.35. Какие из следующих предложений являются предикатами:

1. произвольное чётное число s можно представить в виде суммы двух нечётных чисел;
2. рациональное число q не больше −7/8;
3. треугольник ABC подобен треугольнику A′B′C′;
4. переменные x и y принимают одинаковые значения?

1.36. Запишите отрицание предиката P, если

1. P(n) = {натуральное число n является чётным};
2. P(x, y) = {x < y}.

1.37. Представьте отрицание высказывания T таким образом, чтобы операции отрицания относились к предикатам P и Q:

1. T = ∀x (∃y (P(x, y)));
2. T = ∃x (∃y (P(x, y)) ⇒ Q(x, y)).

1.38. Пусть x и y — вещественные числа. Определите истинностное значение высказываний

1. ∀x (∃y (x > y));
2. ∀x (x ≠ 0 ⇒ ∃y (xy = 1)).

1.39. Пусть x и y — вещественные числа. Определите истинностное значение высказываний

1. ∃x (∀y (xy = y));
2. ∃x (∀y (x + y = 1)).

1.40. Определение предела последовательности

Как известно из курса математического анализа [27, 36, 68], число a является пределом числовой последовательности {an} тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε существует такой номер n0, что для всех натуральных чисел n, больших или равных n0, выполняется неравенство |an − a| < ε.

С помощью кванторов приведённое утверждение записывается следующим образом:

lim_n→∞ an = a ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N (n ⩾ n0 ⇒ |an − a| < ε).

Запишите с помощью кванторов утверждение: «предел числовой последовательности {an} не равен a».

1.41. Предел функции

Число A является пределом функции f(x) в точке x0 тогда и только тогда, когда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x (|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε).

Запишите с помощью кванторов утверждение: «предел функции f(x) в точке x0 не равен A».

1.42. Непрерывность функции

Функция f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x (|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε).

Запишите с помощью кванторов утверждение: «функция f(x) не является непрерывной в точке x0».

1.43. Существование единственного значения

Запишите с помощью кванторов утверждение: «существует единственное значение переменной x, для которого предикат P(x) принимает истинное значение».

1.44. Докажите методом математической индукции высказывание:

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n² для всех натуральных чисел n.

1.45. Докажите методом математической индукции высказывание:

1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = 1/2n(3n − 1) для всех натуральных чисел n.

1.46. Докажите методом математической индукции высказывания:

1. 2 + 2² + 2³ + . . . + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 2 для всех натуральных чисел n;
2. 1/2 + 1/2² + 1/2³ + . . . + 1/2ⁿ = 1 − 1/2ⁿ для всех натуральных чисел n.

1.47. Докажите методом математической индукции, что сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы:

1³ + 2³ + . . . + n³ = (1 + 2 + . . . + n)², n = 1, 2, 3, . . .

1.48. Докажите формулу для суммы кубов n первых нечётных натуральных чисел

1³ + 3³ + 5³ + . . . + (2n − 1)³ = n²(2n² − 1), n = 1, 2, 3, . . .

1.49. Сумма арифметической прогрессии

Члены арифметической прогрессии определяются как an = a1 + (n − 1)d для n = 1, 2, 3, . . . , где a1, d — const. Докажите методом математической индукции, что сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой Sn = (a1 + an)/2 * n.

1.50. Сумма геометрической прогрессии

Члены геометрической прогрессии определяются как bn = b1q^n-1 для n = 1, 2, 3, . . . , где b1, q — const, q ≠ 1. Докажите методом математической индукции, что сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле Sn = b1(qⁿ − 1) / (q − 1).

1.51. Докажите методом математической индукции, что n² − n чётно для всех натуральных n.

1.52. Докажите методом математической индукции, что для всех натуральных чисел n:

1. 4n³ + 14n кратно 3;
2. n⁵ − n − 10 кратно 5;
3. 6^2n-1 − 6 кратно 7;
4. n(n − 1)(2n − 1) кратно 6.

1.53. Докажите методом математической индукции, что для всех натуральных чисел a и n число aⁿ − 1 кратно a − 1.

1.54. Докажите методом математической индукции, что следующие числа делятся на 10 при всех значениях n = 1, 2, . . .

1. 4ⁿ + 4(−1)ⁿ;
2. 3 · 4ⁿ − 8(−1)ⁿ.

1.55. Докажите, что число 1/10(79 · 4ⁿ − 4(−1)ⁿ) целое при всех значениях n = 1, 2, . . .

1.56. Докажите, что число 79/30 · 4ⁿ + ((-1)ⁿ/5) − 1/3 целое при всех значениях n = 1, 2, . . .

1.57. Докажите методом математической индукции, что для всех натуральных значений n:

1. 7ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ кратно 5.