Решение задач по теории вероятностей и математической статистике (Вариант 17)

Задача 1

Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти вероятность того, что все цифры номера различны, причем первая из них равна единице.

Решение

Пользуемся формулой классической вероятности. Находим количество исходов, которые нам подходят (все цифры номера различны) и делим на общее количество исходов.

Найдем количество таких номеров: на первом месте зафиксирована единица, значит, на остальные места можем поставить 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то есть, девять цифр. На второе место можно выбрать одну из девяти цифр, далее, на третье место — одну из восьми, на четвертое — одну из семи, на пятое — одну из шести, на шестое — одну из пяти и на седьмое — одну из четырех. То есть, количество 9*8*7*6*5*4=60480.

Всего номеров, которые начинаются с единицы и имеется затем шесть цифр — 10^6, так как на каждое из оставшихся мест можно поставить одну из десяти цифр.

Задача 2

На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 0. Три из них, одна за другой, случайным образом вынимаются и укладываются слева направо в порядке появления. Найти вероятность того, что получится четное число.

Решение

Пользуемся классической вероятностью. Найдем общее число всех исходов: на первое место можно выбрать одну из пяти карточек, на второе — одну из четырех, на третье — одну из трех. Всего исходов 5*4*3=60 исходов.

Найдем те исходы, в которых получается четное число. Четное число получается, когда на последнем месте стоят 4 или 0. Тогда на первое место можно выбрать одну из четырех карточек, на второе место — одну из трех, на третье место — одну из двух (4 или 0). 4*3*2=24.

Задача 3

При увеличении напряжения выше номинала может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,5 соответственно. Определить вероятность того, что разрыва цепи не будет.

Решение

При последовательном соединении ток проходит, если исправны все элементы.

Задача 4

Из 10 приборов два являются бракованными. Определить вероятность того, что из пяти взятых наудачу для проверки приборов хотя бы один окажется бракованным.

Решение

Пользуемся формулой для сочетаний.

Общее количество способов взять пять приборов из 10 равно C(10,5). Исходы, которые требуются, хотя бы один бракованный — то есть, бракованные 1, 2. Тогда мы можем взять один бракованный из двух и четыре работающих или мы можем взять просто два бракованных из двух и три из работающих.

Задача 5

Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах равны соответственно 0,8; 0,9 и 0,9. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

Решение

Пользуемся формулой полной вероятности.

Задача 6

Известно, что 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,99, а нестандартную — с вероятностью 0,03. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение

Пользуемся формулой Байеса:

• H1 — изделие удовлетворяет стандарту с вероятностью 0,95
• Н2 — изделие не удовлетворяет стандарту с вероятностью 0,05.

Задача 7

Вероятность перегорания стандартной лампочки при одном включении в сеть равна 0,2. При выборочном контроле продукции лампочку испытывают 5 раз. Какова вероятность того, что лампочка перегорит в третьем или четвертом включении?

Решение

Чтобы лампа перегорела в третьем испытании, нужно, чтобы в первом включении она загорелась (вероятность 0,8), во втором — загорелась (0,8), в третьем перегорела — 0,2. Для четвертого испытания — 0,8, 0,8, 0,8 и 0,2.

Задача 8

Бросается монета. Что вероятнее: выпадении ровно одного герба при двух бросаниях или ровно двух гербах при четырех бросаниях?

Решение

Схема Бернулли:

Вероятнее один герб при двух бросаниях.

Задача 9

Вероятность успеха в каждом из 200 независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что число успехов заключено между 160 и 200.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Pn(k1,k2) = Ф(x2) – Ф(x1), где Ф(x) – функция Лапласа.

k2 = 200, k1 = 160

P200(160 < x < 200) = Ф(17.32) — Ф(11.55) = 0.49999 — (0.49999) = 0

Задача 10

Два стрелка по очереди стреляют в мишень до первого попадания, причем у них всего по 3 патрона. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле — 0,8, для второго — 0,9. Случайная величина — общее число промахов. Для случайной величины Х: а) построить ряд распределения, б) найти математическое ожидание и дисперсию, в) найти вероятность события А={X<2}.

Решение

Стреляют до первого попадания по очереди:

• 0 промахов — первый попал сразу. p=0,8
• 1 промах — первый промахнулся, второй попал p=0,2*0,9=0,18
• 2 промаха — первый промахнулся, второй промахнулся, первый попал p=0,2*0,1*0,8=0,016
• 3 промаха — первый промахнулся, второй промахнулся, первый промахнулся, второй попал p=0,2*0,1*0,2*0,9=0,0036
• 4 промаха — p=0,2*0,1*0,2*0,1*0,8=0,00032
• 5 промахов — p=0,2*0,1*0,2*0,1*0,2*0,9=0,000072
• 6 промахов — p=0,2*0,1*0,2*0,1*0,2*0,1=0,000008

X	0	1	2	3	4	5	6
P	0,8	0,18	0,016	0,036	0,00032	0,000072	0,000008

Задача 11

Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 45 см и средним квадратичным отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,09.

Решение

Найдем вероятность одной детали: P = 2 * Ф (разность / среднеквадратичное отклонение) = 2 * Ф (0.4) = 2 * 0.1554 = 0.3108. Ф(0.4) = 0.1554 — смотрим по табличке нормального распределения.

Задача на комбинаторику: Задача 1

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность, что на четных местах будут стоять четные числа.

Решение

Применяем классическое определение вероятности.

1) Общее число исходов испытания равно размещению 9 чисел на 9 мест. Это число равно 9! способов. n=9!

Событию А благоприятствуют те исходы, при которых четные числа (а их 4) стоят на четных местах. Из девяти чисел выбираем 4 – сочетание из 9 по 4 и размещаем 4 цифры на 4 местах.

Задача 2

Группа из 8 человек случайным образом занимает места за круглым столом. Найти вероятность, что два определенных лица окажутся рядом.

Решение

Всего возможно 8! вариантов посадки. Благоприятные исходы — первый садится на любое из восьми мест, а второй — выбирает место слева или справа от него. Остальные рассаживаются как хотят, то есть, 6!. Итого в числителе: 8*2*6!.

Задача 3

Группа из 8 человек случайным образом занимает места на скамье из 8 мест. Найти вероятность, что два определенных лица окажутся рядом.

Решение

Всего возможно 8! вариантов посадки. Благоприятные исходы — первый садится на любое из восьми мест, а второй — выбирает место слева или справа от него, при этом, если человек садится на край, то всего можно выбрать одно место. Остальные рассаживаются как хотят, то есть, 6!. Итого в числителе: 2*7*6!.

Задача 4

Группа из 8 человек случайным образом занимает места на скамье из 12 мест. Найти вероятность, что два определенных лица окажутся рядом.

Решение

n=A(12,8) = 12!/4! — количество размещений 8 человек на 12 стульях.

m=12*2*A(10,6) = 24*10!/4! — количество размещений, когда эти 2 лица рядом.

Первое лицо может сесть 12 способами, второе — двумя способами на каждый выбор первого. После этого остается 10 мест, на которых разместятся 6 человек A(10,6) способами.

P = m/n = (24*10!/4!) * (4!/12!) = 24/(12*11) = 2/11.

Задача 5

15 человек входят в комнату, где имеется 10 стульев. Какова вероятность того, что четыре определенных лица будут сидеть?

Решение

Всего можно выбрать четырех лиц из 15, то есть C(15,4). Стульев всего 10, поэтому C(10,4). По формуле классической вероятности: P = C(10,4) / C(15,4).

Задача 6

12 студентов, среди которых Петров и Иванов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Найти вероятность, что между ними в образовавшейся очереди окажется ровно 5 человек?

Решение

Для такого события возможны 12 вариантов расположения Иванова и Петрова в очереди: (И-1, П-7), (И-2, П-8), (И-3, П-9), (И-4, П-10), (И-5, П-11), (И-6, П-12), (П-1, И-7), (П-2, И-8), (П-3, И-9), (П-4, И-10), (П-5, И-11), (П-6, И-12).

В каждом таком варианте существует P = 10! способ расположения остальных десяти студентов. Всего же 12 студентов в очереди могут расположиться Р= 12! способами. Тогда искомая вероятность P = (12 * 10!) / 12!.

Задача 7

К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по автомобилю. Каждый из автомобилей может совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время автомобили покинули перекресток. Найти вероятность, что ровно одна улица останется свободной.

Решение

Общее число исходов: 4^4 — так как четыре машины и четыре варианта действий. Чтобы одна улица была свободной, нужно, чтобы две машины повернули направо или налево, а остальные две — поехали прямо или развернулись. Общее количество таких исходов — 144.

Задача 8

Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. В предположении, что все шляпы возвращаются наугад, найти вероятность того, что в точности k человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все значения k от 0 до 4.

Решение

Общее количество всевозможных исходов: 4!.

• Никто не получит свои шляпы: P = 9/24.
• Один человек получит свою шляпу: P = 8/24.
• Два человека получат свои шляпы: P = 6/24.
• Три человека возьмут свои шляпы — вариант невозможен.
• Четыре человека возьмут свои шляпы — один исход: P = 1/24.

Дискретный случайный вектор

В урне 4 белых, один желтый и три черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем вынутые шары возвращаются в урну. Случайные величины: Х — число извлеченных белых шаров, Y — число черных шаров.

Решение

Вероятность достать белый шар за одну попытку 4/8=1/2. Вероятность достать черный шар за попытку 3/8.

X/Y	0	1	2	3
0	1/512	75/512	135/512	0,0527
1	0,375	3/14	405/4096	0
2	0,375	225/4096	0	0
3	0,125	0	0	0

Поскольку P(X=0,Y=0) ≠ P(X=0)*P(Y=0), случайные величины X и Y зависимы. Ковариация cov(X,Y) = -0.5.