В данном материале представлен полный список экзаменационных заданий по курсу «Математический анализ 1» (вариант 30). Задания охватывают ключевые темы дисциплины: вычисление пределов, нахождение производных высших порядков с использованием многочленов Маклорена, работа с матрицей Якоби для композиции функций, исследование неявных функций, поиск условных экстремумов методом множителей Лагранжа, а также анализ однородных функций и теорему Эйлера.
Экзамен по дисциплине «Математический анализ 1». Вариант 30
1. Вычисление предела
(1 балл) Найдите предел:
limx→0 (ln(1 + 6x2)) / (2√1 + 4x — 3√1 + 6x — 4√1 + 8x)
2. Производная функции
(1 балл) Используя многочлены Маклорена основных элементарных функций, найдите пятую производную функции:
f(x) = x3 · (2 — 5x) / (1 — 5x + 6x2)
при x = 0.
3. Матрица Якоби
(1 балл) Даны функции f, g : R2 → R2, заданные формулами:
f(x, y) = (x — y — xy, xy)
и
g(x, y) = (x2 + y + 1, y2 + x — 1).
Найдите матрицу Якоби композиции h = f ◦ g функций f и g в точке (1, 1).
4. Неявная функция
(2 балла) Дано уравнение:
z3 + 2xz + 3y = -2.
Проверьте, что оно локально определяет функцию z(x, y), удовлетворяющую условию z(-1, -1) = -1. Установите, является ли функция z(x, y) строго выпуклой или строго вогнутой в окрестности точки (-1, -1).
5. Метод множителей Лагранжа
(1 балл) Используя метод множителей Лагранжа, найдите и классифицируйте (максимум/минимум) все точки строгих условных локальных экстремумов функции:
f(x, y, z) = x — y + z
при условии 2x2 + y2 + 3z2 = 66.
6. Область значений функции
(2 балла) Найдите область значений функции:
f(x, y) = x2 — xy + 2y2 — x
на множестве:
D = {(x, y) ∈ R2 : x ⩾ 0, y ⩾ 0, 2x + y ⩽ 5}.
7. Условный локальный минимум
(1 балл) Пусть F(a) есть значение функции f(x, y) = ax + (3 — 2a)y в точке условного локального минимума при условии:
ax2 + y2 = a2 + 1.
Найдите F'(1).
8. Однородные функции и теорема Эйлера
(1 балл) Докажите, что функция:
f(x, y) = 3√2x5 + 6y5 · 2√7x2 + 2y2
однородна на конусе {(x, y) ∈ R2 : x, y ⩾ 0} и найдите степень ее однородности. Используя теорему Эйлера, найдите значение функции:
h(x, y) = xf’x(x, y) + yf’y(x, y)
в точке (1, 1).