В статье рассматриваются методы аппроксимации экспериментальных данных с использованием табличного процессора Excel. Описаны теоретические основы выбора эмпирических формул, различия между интерполяцией и подгонкой кривой, а также практический алгоритм построения полиномиальной линии тренда. Особое внимание уделено оценке качества аппроксимации с помощью коэффициента детерминации (R2) и выбору оптимальной степени полинома для достижения максимальной точности.
Введение
В связи с развитием строительства и машиностроения к методам расчета сооружений и конструкций предъявляются все более высокие требования. Одним их основных путей реализации этих требований является внедрение ЭВМ в практику расчетов строительных и машиностроительных конструкций и в автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ.
Очень часто при анализе экспериментальных данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами, которые были получены в результате измерений.
Подходы к аппроксимации данных
Существует два основных подхода к аппроксимации данных кривыми:
- Интерполяция: при этом подходе требуют, чтобы аппроксимирующая кривая проходила через все точки, заданные таблицей.
- Подгонка кривой: данные аппроксимируют простой функцией, применимой во всем диапазоне табличных данных, но не обязательно проходящей через все точки. Такой подход стремятся провести так, чтобы отклонения от табличных данных были минимальными.
Следует иметь в виду, что сами исходные экспериментальные данные, как правило, являются приближенными и содержат ошибки. Поэтому интерполяционная формула, повторяющая эти ошибки, не является идеальным решением поставленной задачи; простая эмпирическая формула, сглаживающая местные неправильности, может лучше отобразить действительность.
Этапы построения эмпирической формулы
Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов:
- Выяснение общего вида этой формулы.
- Определение наилучших ее параметров.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Обычно предполагают, что эмпирическая функция — аналитическая без точек разрыва и график её — плавная кривая. Нельзя указать общего метода для нахождения наилучшего типа формулы, соответствующей опытным данным.
Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта составителя.
Выбор типа функции
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. Во многих случаях можно ограничиться полиномом. Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая и т.п.).
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов, входящих в эту формулу.
В данном случае подходит полиномиальная (n≤6), где ai – константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени – не более трех экстремумов и т.д.
Оценка точности аппроксимации
При построении линии тренда величина достоверности аппроксимации вычисляется по следующей формуле:
Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R²). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1). Если эта величина нас не устраивает, то необходимо увеличить степень полинома. Чем ближе R² к 1, тем с меньшей погрешностью построена линия тренда.
Выполнение работы
Для варианта: рис. 38 группа Г, 1 диаграмма. Получили график при испытании образца на растяжение.
Рис. 1. Исходный график
Определяем координаты точек графика и записываем их в два столбца.
Рис. 2. Полученные точки из графика
Построение диаграммы и линии тренда
Строим точечную диаграмму по заданным координатам.
Рис. 3. Полученный график
Добавляем полиномиальную линию тренда. Ставим галочку «пересечение с осью Y в точке», вписываем координаты (0,0), добавляем галочку напротив «показать уравнение на диаграмме» и галочку напротив «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²).
Рис. 4. Параметры линии тренда
Анализ результатов
Получили линию тренда, не подходящую нашему графику.
Для большей точности совпадения линии тренда и графика выбираем степень полинома так, чтобы величина достоверности аппроксимации (R²) была максимально приближена к единице.
Выбираем степень полинома равную 3, при такой степени достоверность аппроксимации составляет 88,66%.
Увеличиваем степень полинома до максимума, равного 6. При такой степени достоверность аппроксимации составляет 94,87%.
Также на графике мы видим уравнение, которое необходимо найти:
y = -0,0121x⁶ + 0,4348x⁵ — 6,028x⁴ + 40,0469x³ — 135,93x² + 224,11x