СибАГС АФ. Задания для самостоятельной работы по теории вероятности

I. Элементы комбинаторики

За вторым отделением совхоза закреплено 5 тракторов Т-4А, 7 тракторов ДТ-75, 9 тракторов МТЗ-80 и 8 автомобилей ГАЗ-53 Сколькими способами можно выставить технику на машинном дворе вместимостью 18 единиц техники, если взять 3 трактора Т-4А, 4 трактора ДТ-75, 5 тракторов МТЗ-80 и 6 автомобилей?
Имеется 5 покрышек, 6 камер и 5 дисков. Сколькими способами можно забортовать 4 колеса, если для каждого колеса требуется одна покрышка, одна камера и один диск?
В совхозе проводится конкурс пахарей. В финал вышли 7 человек Сколькими способами можно распределить 3 первые места?
В бригаде работают 12 трактористов, троих из них надо отправить на учебу. Сколькими способами можно это сделать?
Имеется 4 тракториста, 5 сеяльщиков, 6 заправщиков. Сколькими способами можно укомплектовать одно звено из трех человек, если требуется по одному человеку каждой специальности?
В хозяйстве имеется 4 сеялки и 5 плугов к трактору МТЗ-80. Сколькими способами можно выбрать 3 сеялки и 3 плуга?
На складе имеется 5 двигателей, 10 коленчатых валов и 6 радиаторов. Сколькими способами можно распределить по 1 двигателю, 1 коленчатому валу и радиатору на каждый из четырех автомобилей?
В мастерской имеется три токарных, три фрезерных и два сверлильных станка. Данная деталь должна пройти эти три вида обработки. Сколькими способами можно это сделать?
В совхозе 50 механизаторов. Сколькими способами могут быть выбраны 7 механизаторов для работы в составе звена?
В профком избраны 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами можно это сделать?
В бригаде имеется 15 комбайнов и 20 тракторов Сколькими способами могут быть выделены звену 5 комбайнов и пять тракторов?
Сколькими способами могут быть присуждены 1, 2, 3-я премии трем звеньям, если число соревнующихся звеньев равно 10?
Секретарю поручено разнести пакеты в шесть различных учреждений. Сколькими способами он может выбрать маршрут движения?

II. Непосредственное вычисление вероятностей

В коробке перемены передач колесного трактора К-701 находятся 4 шестерни Z-42, 6 шестерен Z-24. Требуется заменить 3 шестерни. Какова вероятность того, что 2 из них окажутся Z-42?
На автобазе 20 машин, из них 5 не заправлены. Для поездки наудачу выбирают 2 автомобиля. Какова вероятность того, что одна из выбранных машин не заправлена?
В клетке 10 кроликов, среди которых 6 трехмесячных и 4 четырехмесячных. Наудачу отобрали 7 животных. Какова вероятность того, что среди отобранных четыре окажутся трехмесячными?
В конюшне имеются 3 сторожевые собаки, из которых две только лают, а одна кусает. В конюшню пробрался вор. Что вероятнее в момент появления вора: подбегут 2 только лающие собаки или одна лающая и одна кусающая собака?
Тракторный парк состоит из 6 колесных и 4 гусеничных тракторов Какова вероятность того, что среди пяти тракторов, переданных бригаде, хотя бы один гусеничный?
Району выделили 15 комбайнов, причем 10 из них, изготовлены Красноярским заводом. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу отобранных комбайнов три изготовлены в Красноярске.
На складе имеется 15 деталей, среди которых 4 бракованных. Найти вероятность того, что среди шести наудачу взятых деталей будет только две бракованных.
Район закупил 10 тракторов, из них четыре марки Т-4. Какова вероятность того, что из выделенных колхозу на посев 7 тракторов три окажутся марки Т-4?
Совхоз закупил 7 т удобрений, из них 4 т азотных. Найти вероятность того, что среди 3 т удобрений, выданных звену, 2 т азотных.
Разбирая восьмицилиндровый двигатель с пятью неисправными поршнями, механик демонтировал 3 поршня. Найти вероятность того, что все они неисправны.
С конвейера завода сошло 14 автомобилей, 3 из которых с неисправной системой охлаждения. Какова вероятность того, что среди 5 выбранных машин окажется не более одной с неисправной системой охлаждения?
Для определения всхожести семян взяли пробу из 100 семян. Из отобранных семян 15 не взошли. Какова вероятность того, что первое наудачу взятое семя не взойдет?

III. Теоремы сложения и умножения вероятностей

В зимнюю сессию студент Иванов должен сдать пять экзаменов. Вероятности не сдачи первого из них — 0,2; второго — 0,4; третьего — 0,5; четвертого — 0,2 и пятого — 0,3. Определить вероятность того, что Иванов сдаст все экзамены.
В мастерской работают два токаря. Вероятность того, что во время обработки заготовки резцом он выйдет из строя, для каждого из токарей равна 0,09. Определить вероятность того, что только у одного из токарей резец выйдет из строя; хотя бы у одного токаря резец выйдет из строя
Вероятность бесперебойной работы трактора ДТ-75 в течение смены равна 0,8; трактора К-700 — 0,9. Определить вероятность выхода из строя только одного из указанных тракторов; не менее одного из тракторов; не более одного из тракторов.
Вероятность выполнения посевных работ в срок для первого хозяйства равна 0,7; для второго хозяйства — 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы одно из хозяйств выполнит работу в срок.
Вероятность «нарваться» на контролера в автобусе равна 0,2. Иванов трижды проехал в автобусе. Определить вероятность того, что он «нарвался» на контролера только 1 раз.
Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией равна 0,2. Какова вероятность обнаружения цели хотя бы один раз при четырех циклах обзора?
При уборке зерновых возможны следующие неисправности комбайна, забивание сетки радиатора с вероятностью 0,8, забивание барабана с вероятностью 0,3, выход из строя подборщика с вероятностью 0,2 Эти поломки независимы друг от друга. Вычислить вероятность безотказной работы комбайна в течение смены.
Экзаменационные работы по математике, которые писали абитуриенты при поступлении в институт, зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?
Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов — 0,37 и 16 — 18 рядов — 0,14. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь 12 или 14 рядов?
Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0,8, а по геометрии — 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?
Производятся 4 независимых выстрела. Вероятность поражения цели стрелком при каждом из выстрелов равна р. Какова вероятность того, что первые два выстрела будут попаданиями, а последующие два — промахами?
Известно, что при каждом измерении равновероятны как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при трех независимых измерениях все ошибки будут положительными?
Пусть р(АВ) = Найдите р (А + В).
Пусть р(А) = Совместны ли события А и В?
Выполненная контрольная работа состоит из задачи и примера. Вероятность того, что в наудачу выбранной работе правильно решена задача, равна 0,8, а того, что получен хотя бы один правильный ответ, — 0,9. Найдите вероятность того, что правильно решен пример.
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен — 0,85 и третий — 0,8. Какова вероятность тою, что студент сдаст не менее двух экзаменов?
Пусть события А и В независимы. Докажите, что следующие пары событий тоже независимы:

а) А и ; б) Ā и В; в) Ā и .

IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Имеется две партии однородных изделий. Первая содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая — 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется дефектным?
Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9, вторым — 0,7. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется годной?
С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, со второго -20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, на втором -4%. Две проверенные детали, изготовленные одним и тем же автоматом, оказались бракованными. Какова вероятность того, что они изготовлены первым автоматом?
Имеется две партии однородных изделий. Первая партия содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая — 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Из первой партии наугад взяли 60 изделий, из второй – 30. Эти изделия смешали, образуя новую партию. Какова вероятность того, что взятое из новой партии изделие окажется дефектным?
Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8, семь — с вероятностью 0,7, четыре — с вероятностью 0,6 и два — с вероятностью 0,5. Один из стрелков сделал выстрел, но в мишень не попал. К какой из перечисленных выше групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, три подготовлены отлично, четыре хорошо, два — посредственно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеется двадцать вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все двадцать, хорошо подготовленный — на шестнадцать, посредственно подготовленный — на десять, плохо подготовленный — на пять Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Какова вероятность того, что этот студент посредственно подготовлен?
Ученик забыл последнюю цифру даты Куликовской битвы и поэтому называет ее наудачу. Определить вероятность того, что до правильного ответа ему придется отвечать не более трех раз.
В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?
В коробке имеются 2 красный, 3 синих и 2 зеленых карандаша. Из нее наудачу без возвращения вынимают один за другим по одному карандашу. Найти вероятность того, что красный карандаш появится раньше синего.
Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен?
Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен, если он идет отвечать первым или если — вторым?
Из группы, состоящей из четырех юношей возраста 17, 18, 19 и 20 лет и четырех девушек тех же лет, наугад выбирают двух человек. Какова вероятность того, что:

а) оба выбранных окажутся юношами;

б) оба окажутся юношами, если известно, что один из выбранных юноша;

в) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша, которому не более 18 лет;

г) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша 17 лет?

Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй — только белые и в третьей — только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй — 6 белых и 4 черных. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?
В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех других — 0,5 и для остальных — 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы?
Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25 вопросов, 5 — на 20 вопросов и двое — на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.
Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй — 7 белых и 3 черных и в третьей — только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны?

Повторные испытания

Бензонасос автомобиля ЗИЛ-131 содержит 6 клапанов, надежность работы каждого из них равна 0,95. Какова вероятность того, что откажет один клапан; хотя бы один клапан?
На испытательный стенд поставлены 4 конденсатора. Вероятность пробоя конденсатора в течение гарантийного срока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение испытания откажут 3 конденсатора.
Вероятность того, что комбайн неисправен, равна 0,2. Определить вероятность того, что будут неисправны 3 из 5 выбранных наугад комбайнов.
Двигатель машины ЗИЛ-130 содержит 8 цилиндров. Надежность работы каждого равна 0,8. Найти вероятность того, что откажет хотя бы один цилиндр; что откажет два цилиндра.
Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.
Найти вероятность того, что переключение передач наступит 70 раз на 243 километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.
Посеяно 600 зерен кукурузы с вероятностью прорастания 0,9. Найти границу абсолютной величины отклонения частости взошедших семян от вероятности р = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью Р = 0,995.
В партии деталей первый сорт составляет 70%. Механизатор выбирает наудачу 12 деталей. Какова вероятность того, что среди них 9 деталей окажется первого сорта?
На автобазе есть 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Определить вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 машин.
Тракторный парк совхоза насчитывает 10 тракторов К-700 и 15 тракторов МТЗ. Надежность в работе каждого из К-700 равна 0,8, каждого из МТЗ — 0,85. Какова вероятность выхода из строя трех из К-700 и пяти из МТЗ за сезон?
Режущий аппарат жатки содержит 80 сегментов. Надежность каждого сегмента равна 0,8. Какова вероятность отказа 15 сегментов за время свала пшеницы на одном поле, если вероятность отказа одного из них не зависит от других?
В мастерской имеется 13 станков. Вероятность того, что станок в данный момент работает, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число работающих в данный момент станков. Найти вероятность наивероятнейшего числа работающих станков.
Всхожесть семян составляет 75%. Какова вероятность того, что из 300 посеянных семян взойдет 210; взойдет от 215 до 230 семян?
В течение года град приносит значительный ущерб примерно одному хозяйству из 50. Определить вероятность того, что из 200 хозяйств края пострадает 8; не менее 9; не более 20.
Вероятность отказа трактора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 20 тракторов откажут 8; не менее 15; не более 12 тракторов.
При массовом производстве шестерен вероятность брака равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерен 50 будут бракованными?
Доля зараженности зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002. Определить вероятность того, что среди 500 зерен 3 окажутся зараженным.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,003. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется 2 бракованных сверла.
Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из 1100 изделий бракованных окажется не более 17?
Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.
При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность наличия от 790 до 820 годных клемм в партии из 900 клемм.
Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 точных.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.
Случайные величины

В лотерее на 100 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210, 60 и 30 рублей. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет.
Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.
Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым — 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.
Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. 1). Составить закон распределения числа выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. 2). Найти функцию распределения числа выстрелов, производимых охотником. 3) Найти вероятность того, что охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.
Доля поражения зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002 Составьте закон распределения случайной величины X — числа зараженных зерен среди 500 отобранных.
Дан закон распределения случайной величины х:

х_i	-2	0	1	3
p_i	0,1	0,5	0,3	0,1

Составить закон распределения случайных величин x² и 3х.

Выбиваемые двумя стрелками числа очков характеризуются следующими законами распределения: а) для первого стрелка Х; б) для второго Y.

число очков

P_i

0,1

0,5

P_i

0,1

0,3

Стрелки делают по одному выстрелу. Подсчитывается сумма выбиваемых ими очков. Составить закон распределения этой случайной величины.

Определить М (Х), D (X), σ (X) случайной величины, если закон распределения ее имеет следующий вид:

х_i	0	1	3	4
p_i	0,2	?	0,3	0,4

Построить график и на нем указать М (Х), σ (Х).

Дано:

х_i	-2	-1	0	1	2	3
p_i	0,15	0,2	0,3	0,2	0,05	0,1

Найти: M (4X); D (2X); σ (X).

Дано:

х_i	2	3	4	5		у_i	-1	0	1	2	3
p_i	0,3	?	0,2	0,1		p_i	0,1	03	0,2	0,1	?

Найти: М (2Х+У); D (Х — У); σ (3Х).

Даны независимые случайные величины:

X	0	1	2			Y	-2	-1	0
P(x)	0,25	05	0,25			P(y)	0,6	0,3	0,1

Найти: М (Х+2Y); D (Х — 2Y).

В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить таблицу распределения числа бракованных изделий из 6 взятых наудачу деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Монету подбрасывают 7 раз. Найти М (X), D (X), σ (X), где X — где число появлений герба.

В задачах 15 — 30 случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X); 4) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) = 2 sin 4x в интервале [0, ], вне этого интервала f(x) = 0 Найдите вероятность события «х попадет»:

а) в интервале ; ; б) в интервале ; в) в интервале .

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей:

х_i	2	3	6	7	8	10
p_i	0,1	0,2		0,2	0,15	0,1

До выполнения задания вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение х = 6.

В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:

t_i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
p_i

Найдите математическое ожидание М(t) среднесуточной температуры.

Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения:

х_i	-2	-1	0	1	3
p_i	0,1	0,2	0,25	0,35	0,1

y_j	-3	0	1	2
q_j	0,1	0,2	0,4	0,3

Значения какой из этих случайных величин более рассеяны от их средних значений? Найдите М (X + Y) и D (X + Y).

На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.
Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.
Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

х_i	2	3	4			y_j	1	2	3
p_i	0,6	0,3	0,1			q_j	0,1	0,2	0,7

Найдите математическое, ожидание случайной величины Z = XY двумя способами: а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z; б) используя свойство М (XY) = М (X) М(Y).

Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

х_i	1	3			y_j	2	4
p_i	0,7	0,3			q_j	0,6	0,4

Найдите дисперсию случайной величины Z = X + Y двумя способами:

а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z;

6} используя свойство: D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны М (X) = 7; D (X) = 1,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) 2Х — 3; б) 4Х; в) ЗХ + 5.

VII. Нормально распределенная случайная величина

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 3, среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность вероятности
Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что М (Х) = 3, D (X) = 16.
Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М (Х) = 6, σ²= 9 Найти функцию плотности вероятности.
Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с функцией плотности вероятности . Найти М (Х) и D (X)
Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см. а дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
При измерении детали ее длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами а = 22 см и σ = 0,2 см. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X.
Случайные ошибки измерения диаметра вала при его массовом изготовлении подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально с параметрами а = 0 и σ = 0,4 мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста стандартных.
Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 20 мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
Масса вагона — случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонение σ = 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.
Масса яблока, средняя величина которого равна 150 г, является нормальной распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 до 180 г.

12. Задания для индивидуальной работы.

I. В задачах № 1-30 определить значение выражения:

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

II. В задачах 1-30 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз.
Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз.
Установить вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
События В появится в случае, если событие А появится не менее четырех раз. Установить вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут три.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех.
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей два мальчика. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более двух
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено все моторы.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент выключены все моторы.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено менее двух моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено более четырех моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не менее 5 моторов.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не более 3 моторов.
Установить вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления А равна 0,3.
События В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Установить вероятность того, что наступит событие В, если произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

III. В задачах 1-30 определить вероятность появления события при повторении испытаний.

Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.
Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течении 1 минуты позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено ровно 3 изделия.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено менее 3 изделий.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Установить вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 2 опечатки.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок ровно две.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено изделий более трех.
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок менее двух.
Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить менее трех сорняков?
Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить более четырех семян сорняков?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет хотя бы на одном веретене.
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет менее 3 веретен.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок более двух.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок хотя бы одну.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит менее двух неправильно сброшюрованных книг.
Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит хотя бы одну неправильно сброшюрованную книгу.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажет хотя бы один элемент.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут менее трех элементов.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут более двух элементов.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется пять бактерий.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется более двух бактерий.
Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей хотя бы одна окажется бракованной.

IV. В задачах 1 — 30 дано, что на тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

n = 400; p = 0,8; m = 330;
n = 400; p = 0,9; m = 372;
n = 400; p = 0,85; m = 340;
n = 400; p = 0,75; m = 340;
n = 400; p = 0,8; m = 350;
n = 300; p = 0,75; m = 240;
n = 300; p = 0,7; m = 250;
n = 300; p = 0,85; m = 272;
n = 300; p = 0,8; m = 260;

n = 300; p = 0,75; m = 255;
n = 600; p = 0,6; m = 375;
n = 600; p = 0,65; m = 400;
n = 600; p = 0,7; m = 425;
n = 600; p = 0,75; m =500;
n = 600; p = 0,7; m = 445;
n = 625; p = 0,64; m = 370;
n = 625; p = 0,8; m = 510;
n = 625; p = 0,7; m = 470;
n = 625; p = 0,75; m = 380;
n = 625; p = 0,8; m = 490;
n = 192; p = 0,75; m = 150;
n = 225; p = 0,8; m = 165;
n = 100; p = 0,9; m = 96;
n = 150; p = 0,6; m = 75;
n = 500; p = 0,65; m = 250;
n = 450; p = 0,7; m = 300;
n = 500; p = 0,75; m =350;
n = 300; p = 0,8; m = 240;
n = 100; p = 0,85; m = 85;
n = 450; p = 0,9; m =

V. В задачах 1 — 30 дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, определить вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ и не более m₂ раза.

n = 150; p = 0,6; m₁ = 78; m₂ = 96;
n = 100; p = 0,8; m₁ = 72; m₂ = 84;
n = 400; p = 0,9; m₁ = 345; m₂ = 372;
n = 600; p = 0,4; m₁ = 210; m₂ = 252;
n = 300; p = 0,75; m₁ = 210; m₂ = 225;
n = 625; p = 0,36; m₁ = 225; m₂ = 255;
n = 400; p = 0,5; m₁ = 190; m₂ = 215;
n = 225; p = 0,2; m₁ = 45; m₂ = 60;
n = 300; p = 0,25; m₁ = 75; m₂ = 90;

n = 625; p = 0,64; m₁ = 400; m₂ = 430;
n = 100; p = 0,2; m₁ = 80; m₂ = 92;
n = 150; p = 0,4; m₁ = 120; m₂ = 138;
n = 400; p = 0,8; m₁ = 225; m₂ = 255;
n = 600; p = 0,6; m₁ = 250; m₂ = 292;
n = 300; p = 0,25; m₁ = 210; m₂ = 225;
n = 625; p = 0,6; m₁ = 500; m₂ = 550;
n = 100; p = 0,5; m₁ = 55; m₂ = 70;
n = 225; p = 0,8; m₁ = 50; m₂ = 65;
n = 300; p = 0,7; m₁ = 210; m₂ = 260;
n = 300; p = 0,3; m₁ = 245; m₂ = 295;
n = 400; p = 0,7; m₁ = 350; m₂ = 377;
n = 150; p = 0,5; m₁ = 75; m₂ = 100;
n = 200; p = 0,4; m₁ = 100; m₂ = 130;
n = 300; p = 0,6; m₁ = 155; m₂ = 175;
n = 600; p = 0,9; m₁ = 520; m₂ = 550;
n = 600; p = 0,8; m₁ = 430; m₂ = 480;
n = 225; p = 0,25; m₁ = 130; m₂ = 150;
n = 225; p = 0,45; m₁ = 150; m₂ = 175;
n = 100; p = 0,7; m₁ = 70; m₂ = 82;
n = 100; p = 0,4; m₁ = 64; m₂ =

VI. В задачах 1 – 30 задан закон распределения случайной величины x. Установить: M (x); D (x); δ (x).

1.	x	23	25	28	29	15.	x	25	28	30	33
1.	p	0,3	0,2	0,4	0,1	15.	p	0,2	0,1	0,5	0,2

2.	x	17	21	25	27	16.	x	56	58	60	64
2.	p	0,2	0,4	0,3	0,1	16.	p	0,2	0,3	0,4	0,1

3.	x	24	26	28	30	17.	x	31	34	37	40
3.	p	0,2	0,2	0,5	0,1	17.	p	0,3	0,5	0,1	0,1

4.	x	12	16	19	21	18.	x	17	20	23	27
4.	p	0,1	0,5	0,3	0,1	18.	p	0,1	0,4	0,3	0,2

5.	x	25	27	30	32	19.	x	28	32	34	36
5.	p	0,2	0,4	0,3	0,1	19.	p	0,1	0,2	0,2	0,5

6.	x	30	32	35	40	20.	x	35	39	42	46
6.	p	0,1	0,5	0,2	0,2		p	0,1	0,3	0,2	0,4

7.	x	12	14	16	20	21.	x	13	15	17	20
7.	p	0,1	0,2	0,5	0,2		p	0,2	0,2	0,2	0,4

8.	x	21	25	28	31	22.	x	50	52	54	59
8.	p	0,1	0,4	0,2	0,3		p	0,4	0,3	0,1	0,2

9.	x	60	64	67	70	23.	x	60	61	63	65
9.	p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,1	0,4	0,1	0,4

10.	x	45	47	50	52	24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1		p	0,1	0,5	0,3	0,1

11.	x	46	49	51	55	25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,5	0,2	0,1	0,2

12.	x	18	22	23	26	26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1		p	0,1	0,2	0,3	0,4

13.	x	78	80	84	85	27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4		p	0,2	0,2	0,2	0,2

14.	x	37	41	43	45	28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2		p	0,4	0,4	0,1	0,1

15.	x	25	28	30	33	29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3		p	0,1	0,5	0,1	0,3

						30.	x	52	54	55	57
						30.	p	0,2	0,4	0,3	0,1

VII. 1. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; ).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (; 1).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина x задана функцией распределения на всей оси Ох

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (1,6; 1,75).

Случайная величина задана плотностью распределения

Определить коэффициент а.

Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения.

x	2	6	10
р	0,5	0,4	0,1

Определить функцию распределение F(x).

Задана плотность вероятности случайной величины x:

Определить, что в результате испытания х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	5
р	0,2	0,4	0,4

Определить функцию распределение F(x).

Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана на всей оси Ох равенством:

Определить постоянный параметр С.

Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	8	9
р	0,3	0,4	0,3

Определить функцию распределение F(x).

Плотность распределения непрерывной случайности величины х в интервале (0; ) равна вне этого интервала f(x) = 0. Определить постоянный параметр С.
Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	2	3	7
р	0,4	0,5	0,1

Определить функцию распределение F(x).

Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана в интервале (0; 1) равенством вне этого интервала f(x)=0. Определить постоянный параметр С.
Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	6
р	0,3	0,2	0,5

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	6	10
р	0,2	0,6	0,2

Определить функцию распределение F(x).

Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	1	3	7
р	0,4	0,3	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	6	9
р	0,4	0,1	0,5

Вычертить график функции распределения F(x).

Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1; 2).

Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	5	7
р	0,6	0,1	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2,5).