Задание 1. Требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:
21;20;20;19;21;19;18;22;19;20;21;20;18;19;20.
Методика решения:
Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется средней взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).
Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин вычисляется по формуле:
=
х – варианты осредняемого признака;
ƒ – веса этих вариантов.
Задание 2. Имеются следующие данные о распределении рабочих двух заводов по тарифным разрядам:
| Тарифный разряд | Число рабочих на заводе | завод №1 (хƒ) | завод №2 (хƒ) | |
| №1 | №2 | |||
| 1-й | 4 | 2 | ||
| 2-й | 13 | 10 | ||
| 3-й | 16 | 15 | ||
| 4-й | 30 | 30 | ||
| 5-й | 20 | 25 | ||
| 6-й | 17 | 18 | ||
| Итого | ||||
Определите средний тарифный разряд рабочего: 1) по заводу №1; 2) по заводу №2. Сравните полученные результаты
Методика решения:
Вывод:
При вычисление средней арифметической взвешенной в интервальном ряду распределения с закрытыми и открытыми интервалами необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной.
В рядах с открытыми интервалами величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущий. Дальнейший расчёт аналогичен изложенному выше.
Задание 3. В результате группировки данных по капитальным затратам по леспромхозам получено:
| Группы леспромхозов по размеру капитальных затрат, тыс. руб. |
Число леспромхозов |
х | (хƒ) |
| до-10 | 6 | ||
| 10-12 | 8 | ||
| 12-14 | 15 | ||
| 14-16 | 15 | ||
| 16-18 | 10 | ||
| Свыше 18 | 6 | ||
| Итого |
Определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство. Сделайте вывод.
Методика решения:
Вывод:
Определение средней арифметической взвешенной по способу моментов.
Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Однако использование основных математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления.
Задание 4. Используя данные задачи о времени горения электроламп, рассчитайте среднею арифметическую взвешенную по способу моментов, определив среднее время горения электроламп. Сделайте вывод.
| Группы электроламп по времени горения, ч | Число электроламп | ||||
| 800-1000 | 20 | ||||
| 1000-1200 | 80 | ||||
| 1200-1400 | 160 | ||||
| 1400-1600 | 90 | ||||
| 1600-1800 | 40 | ||||
| 1800-2000 | 10 | ||||
| итого | 400 |
Методика решения:
Вывод:
Средняя гармоническая
Когда статистическая информация не содержит частот ƒ по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение хƒ применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим хƒ = w, откуда ƒ = w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо хƒ подставим w, вместо ƒ- отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:
.
Из формулы видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в веса средней гармонической.
Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса ƒ, а известно w = хƒ, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака.
Если объемы явлений равны между собой или равны 1, то расчет ведется по формуле средней гармонической простой:
;
средние обратные значения вариант;
n – число вариант.
Задание 5. Три промышленных предприятия заняты производством кухонных комбайнов. Себестоимость производства кухонного комбайна на 1-м предприятии – 5 тыс. руб, на 2-м – 3 тыс. руб, на 3-м – 6 тыс. руб. Необходимо определить среднюю себестоимость кухонного комбайна при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс. руб.
Методика решения:
Вывод:
Задание 6. По семи цехам завода имеются данные о расходовании материала на производство продукции:
|
Номер цеха |
Расход материала, м |
Номер цеха |
Расход материала, м | ||
| На одно изделие, Х | На все изделия, W | На одно изделие, Х | На все изделия, W | ||
| 1 | 0,6 | 150 | 5 | 0,5 | 250 |
| 2 | 0,7 | 126 | 6 | 1,3 | 260 |
| 3 | 0,9 | 261 | 7 | 1,4 | 420 |
| 4 | 0,4 | 200 | 8 | 0,8 | 155 |
Определите расход материала на одно изделие в среднем по заводу. Сделайте вывод.
Методика решения:
Вывод:
Мода
Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.
Задание 7. Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
Размер обуви: 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
число пар в % к итогу: — 1 6 8 22 30 20 11 1 1
Определите модальное значение размера обуви.
Методика решения:
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
,
x mo – начальное значение интервала, содержащего моду;
i mo – величина модального интервала;
ƒ mo – частота модального интервала;
ƒ mo-1 — частот интервала, предшествующего модальному;
ƒ mo+1 — частота интервала, следующего за модальным.
Задание 8. Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуется следующими данными:
| Группы предприятий по числу работающих, чел. | Число предприятий |
| 100-200 | 1 |
| 200-300 | 3 |
| 300-400 | 7 |
| 400-500 | 30 |
| 500-600 | 19 |
| 600-700 | 15 |
| 700-800 | 5 |
Определите моду числа работающих. Сделайте вывод.
Методика решения:
Вывод:
Медиана
Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.
Задание 9. Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих (руб. в месяц) в 2000 г. Найти медианное значение заработной платы.
630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.
Методика решения:
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
Задание 10. Имеются следующие данные об урожайности сельскохозяйственных культур в хозяйствах района:
№ хозяйства 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
урожайность, ц. с 1га. 88 99 100 101 110 112 121 123 128 130
Найти медиану урожайности.
Решение:
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов находится серединное значение признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:
,
х me — нижняя граница медианного интервала;
i me — величина медианного интервала;
Σƒ — сумма всех частот ряда;
S me-1 — сумма накопленных частот, предшествующая медианному интервалу;
ƒ me — частота медианного интервала.
Задание 11. Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуются следующими данными ( см. таблицу).
Найти медиану числа работающих. Сделайте вывод
| Группы предприятий по числу работающих, чел. |
Число предприятий |
Сумма накопленных частот |
| 100-200 | 1 | |
| 200-300 | 3 | |
| 300-400 | 7 | |
| 400-500 | 30 | |
| 500-600 | 19 | |
| 600-700 | 15 | |
| 700-800 | 5 | |
| Итого |
Найти медиану. Сделайте вывод.
Методика решения:
Вывод: