ТЕМА 2. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ
2.1 Для определения всхожести семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян 115 не взошло. Какова вероятность, что первое наудачу взятое семя не взойдёт? Каков процент всхожести семян?
2.2 В ящике 250 яиц, из них 20 бракованных. Какова вероятность, взятое из ящика яйцо будет бракованным?
2.3 В бассейне содержится 8 лещей и 12 карпов. Какова вероятность, что наудачу выловленная рыба окажется карпом? Лещём? Какую рыбу вероятнее всего выловить?
2.4 Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных усло-виях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхо-да семян.
2.5 Среди 500 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 10 в которых име-ются трещины. Определить частоту появления ампул имеющих трещины.
2.6 Среди 1000 яиц 250 бракованных. Определить частоту появления брака. Сколько будет бракованных яиц в повторной выборке объёмом 350 яиц?
2.7 В клетке содержат 6 белых и 4 серых мышей. Какова вероятность достать из клетки: а) 1 белую мышь; б) 5 серых мышей?
2.8 Вероятность того, что завтра день будет дождливый, равна 0,7. Найти вероят-ность того, что день будет ясный.
2.9 На 5 из 15 участках засорённость выше нормы. Найти вероятность того, что на участке, выбранном наудачу, засорённость сорняками в пределах нормы.
2.10 Имеется 6 саженцев 1 сорта и 4 саженца 2 сорта. Наудачу берут один саже-нец. Какова вероятность того, что он окажется 1-ого сорта?
2.11 Наудачу выбрано двухзначное число. Какова вероятность. Что число окажется: а) простым ; б) составным ; в) кратным 5.
ТЕМА 3. АЛГЕБРА СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
3.1. Некоторая популяция растений состоит из трёх видов. Численность каждого вида соответственно 200, 600, 50. Случайно выбирают одно растение. Какова вероятность, что это растение 2-го или 3-го вида?
3.2.В стаде крупного рогатого скота 15 % животных болеют маститом, 10 % туберкулёзом, а остальные здоровы. Для обследования выбирают одно животное. Какова вероятность, что оно больное? ( Считать события несовместными ).
3.3. В некоторой популяции плодовой мушки, 25 % мух имеют мутацию глаз, 50 % мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у случайно выбранной мухи из этой популяции обнаружится мутация? (События считать несовместными).
3.4. Известно, что в коробке среди деталей, поступающих к сборщику находятся 80 деталей первого сорта, 200 деталей второго сорта и 1650 деталей третьего. Наудачу сборщик берет одну деталь. Какова вероятность, что она будет первого или второго сорта?
3.5. В искусственном бассейне содержится 20 лещей, 12 карпов, 15 окуней и 13 карасей. Наудачу вылавливают одну рыбу. Какова вероятность, что это лещ или окунь?
3.6. События А, В, С, Д образуют полную группу. Вероятности событий таковы:
Р (А) = 0,1, Р (В) = 0,4, Р (С) = 0,3. Чему равна вероятность события Д?
3.7. На опытной делянке для рассады растёт 20 % роз, 10 % гладиолусов, 38 % астр, а остальные флоксы. Наудачу берут один кустик рассады. Какова вероятность, что это будет флокс?
3.8. Посевная годность семян разделяются по ГОСТу на 1, 2, 3 классы и некондиционные семена. Известно, что в пробе из 100 зёрен находятся 30 семян 1 класса, 25 — 2 -го, 15 – 3-го, а остальные некондиционные. Наудачу из пробы выбирается одно зерно. Какова вероятность, что это зерно 1 или 2 класса? Какова вероятность, что это будет некондиционное зерно?
ТЕМА 4. ТЕОРЕМА О ВЕРОЯТНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
4.1. Вероятность того, что стрелок приодном выстреле попадёт мишень, равна 0,9. Стрелок произвёл 3 выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела дали попадание.
4.2. Вероятность выполнения плана одной бригадой 0,75, а другой 0,9. Найти вероятность выполнения плана двумя бригадами.
4.3. Имеется две партии яиц в инкубаторе. В первой партии 70 % цыплят жизнеспособны, во второй 80 % жизнеспособны. Взяли по одному цыплёнку из каждой партии. Какова вероятность, что они оба выживут?
4.4. У селекционера три сорта семян. Известно, что из 100 семян одного сорта прорастёт 80, из 100 семян другого сорта в этих же условиях — 60, а третьего — 90. Он берёт по одному зерну каждого сорта. Какова вероятность, что все три зерна прорастут?
4.5. В хозяйстве 20 % машин составляют полуторки, 50 % имеют грузоподъёмность в две тонны и 30 % — в три тонны. Две случайно оказавшиеся свободными машины были посланы за грузом. Его оказалось 5 тонн. Какова вероятность, что посланные машины сумели его полностью забрать?
4.6. Некоторая вакцина эффективна на 75 % в формировании иммунитета. Провакцинировали 3-х животных. Определить вероятность того, что все животные приобрели иммунитет; приобрели иммунитет только два животных из группы.
4.7. Вероятность того, что примется первый из 2-х саженцев равна 0,8 для второго эта вероятность 0,6. Определить вероятность того, что примутся оба саженца и вероятность того, что примется , по крайней мере один из двух.
4.8. На пяти участках из 15 засорённость выше нормы. Найти вероятность того, что среди случайно взятых участков засорённость в пределах нормы только на 2-х.
4.9. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении будет допущена ошибка.
ТЕМА 5. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
5.1. Вероятность того, что в каждой из трёх областей лето будет засушливым равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что лето будет засушливым:
а) во всех трёх областях; б) хотя бы в одной области.
5.2. Вероятность того, что из взятого случайным образом зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен равна 0,6. Требуется вычислить вероятность того, что из взятых наудачу 5 зерен вырастет хотя бы один колос, содержащий не менее 50 зерен.
5.3. Процесс обработки детали состоит из трёх последовательных операций, на каждой из которой вероятность получения бракованной продукции равна 0,02. Продукция считается бракованной, если брак допускается хотя бы на одной из операций обработки детали. Определить вероятность получения бракованной продукции в результате обработки детали.
5.4. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова в октябре равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров в октябре: а) не установится ни разу; б) хотя бы один раз.
5.5 Вероятность того, что событие хотя бы один раз появится в трёх независимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании.
5.6. Вероятность выполнения плана на строительной площадке первой бригадой 0,65, второй 0,9, а третьей 0,8. Найти вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой.
5.7. Вероятность заражения бруцеллёзом хотя бы одного животного из трёх отобранных для исследований, равна 0,973. Определить вероятность заражения бруцеллёзом одного животного из группы.
ТЕМА 6. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
6.1. При инкубации яйца вероятность появления живого цыплёнка равна 0,9. Вероятность того, что это будет петушок, равна 0,5. Найти вероятность того, что из данного яйца вылупится петушок.
6.2. К сортировщику поступила партия деталей, 95 % которых стандартные. Из них
80 % — 1 сорта. Какова вероятность, что наудачу взятое деталь будет 1-го сорта.
6.3. Данный посевной материал имеет чистоту 90 % и всхожесть 65 %. Это означает, что в 100 весовых единицах посевного материала содержится 90 весовых единиц чистых семян. С другой стороны, из 100 весовых единиц чистых семян только 65 являются всхожими. Определить вероятность того, что случайно выбранная весовая единица посевного материала будет годной к посеву.
6.4. В бригаде работают 7 мужчин и 3 женщины. Бригадир наудачу отбирает по табельным номерам 3-х человек для некоторых работ. Какова вероятность, что все трое — мужчины.
6.5. Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре 10 дней бывают дождливыми. Совхоз должен в течение первых трёх дней сентября выполнить определенную работу. Определить вероятность того, что ни один из этих дней не будет дождливым.
6.6. В бассейне плавает 10 карпов, 15 карасей и 20 окуней. Вылавливают наудачу подряд 3 рыбы. Какова вероятность, что 1 рыба — карп, вторая рыба — карась и третья рыба — карп?
6.7. Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает предложенные ему три вопроса.
ТЕМА 7. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
7.1. В водоёме обитают особи 2-х близких видов, причём особи первого вида составляют 70 % всей популяции, особи второго вида 30 %. На каждые 100 особей первого вида приходится в среднем 65 самцов, а на 100 особей второго вида — 55 самцов. Какова вероятность того, что первая же особь, выловленная из водоёма, окажется самцом?
- 2. Имеются 2 одинаковых на вид ящика с картофелем. В первом ящике находится 70 % сорта «Синеглазка» и 30 % сорта «Белорусская ранняя», а во втором ящике _ 50 % сорта «Синеглазка». Берется наугад из любого ящика клубень картофеля. Какова вероятность того, что взятый наугад клубень будет сорта «Синеглазка»?
- 3. Известно, что в партии из 1000 ампул с новокаином 400 ампул изготовлено на одном заводе, 350 ампул — на втором заводе и 250 — третьем заводе. Известны вероятности 0,75, 0,80 и 0,85 того, что ампула окажется без дефекта при изготовлении её соответственно первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная ампула окажется без дефекта.
- 4. В первом ящике содержится 20 деталей из них 15 стандартные; во втором – 30 деталей, из них 24 стандаотные; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.
- 5. На складе магазина находится 1000 телевизоров, поступивших из двух фирм. Доли поступившей аппаратуры с дефектом составляют соответственно 1/5 и ¼ для каждой из фирм. Выбирают случайным образом один телевизор. Какова вероятность, что он окажется с дефектом?
- 6. Имеется 12 саженцев сорта 1, 20 — сорта 2, 18 саженцев сорта 3. Вероятность того, что саженец первого сорта примется, равна 0,9, а для саженцев сорта 2 и 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что наугад взятый саженец примется. Найти вероятность, что это саженец первого сорта.
- 7. Имеется 5 агрегатов. Вероятность бесперебойной работы в течение дня для трёх из них равна 0,8, а для двух других 0,7. Найти вероятность того, что наугад взятый агрегат в течение дня не выйдет из строя.
- 8. Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во 2ой – 2 белых и 3 черных шара, в 3ей – 3 белых и 5 черных шара. Событие Hi – выбор i–ой урны. Известно, что выбор i–ой урны P (Hi) = i/10. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.
- 9. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором 10 белых и 10 черных, а в третьем 20 черных. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из 1ого ящика.
- 10. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: 1- 15, 2 – 10, а 3 – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит 2 организации.
- 11. В магазин поступает одна и также продукция от 3х предприятий: от 1ого – 20 изделий, от второго – 10 и от третьего – 70. Вероятность некачественного изготовления изделия на предприятиях равны: 0,02; 0,03; 0,05. Найти вероятность получения некачественного изделия. Какова вероятность, что это изделие третьего предприятия?