ИСИ СФУ, Задание по теории вероятности, Часть 1

Вариант 1

 

1. Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предположив, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.
2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.
3. В ящике 15 деталей, в числе которых 10 окрашены. Сборщик извлекает наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что все они окажутся окрашенными.
4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков, если вероятность рождения мальчика 0,51.
5. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а третьего — в 2 раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.
6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий – 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле из первого орудия, если вероятность попадания из второго — 0,8.
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность 100 попаданий при 320 выстрелах.
8. По цели производятся 2 независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле – 0,3. Построить функцию распределения, составить ряд распределения. Найти М(c), где c — число попаданий в мишень.
9. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины c:

 

                                              

 

Найти интегральную функцию F(c).

10. Исследуются 1200 проб руды. Пусть вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла

Вариант 2

 

1. Десять книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся рядом.
2. Три баскетболиста должны выполнить по одному броску мяча. Вероятность попадания в корзину для первого 0,9, для второго – 0,8, а для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что удачный бросок сделает только один баскетболист.
3. В пирамиде 10 винтовок, из них 4 — с оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени из такой винтовки – 0,95, из винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: выстрел из винтовки с оптическим прицелом или без него?
4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.
5. На отрезке [0; 2] выбирают 2 точки x и y. Найти вероятность того, что произведение xy будет меньше 2.
6. Группа из 10-ти мужчин и 10-ти женщин делится случайно на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части число мужчин и женщин одинаково.
7. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если вероятность всхожести семян равна 0,75
8. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины c, заданной законом распределения

 

c	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

 

9. Проводятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом из них. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появления события в трех испытаниях равна 0,63.
10. Случайная величина c задана интегральной функцией

 

                                             

 

Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значения, принадлежащие интервалу (0,25; 0,75).

 

 

 

Вариант 3

 

1. В ящике 20 белых и 6 черных шаров. Из него вынимают 2 шара подряд. Какова вероятность того, что оба шара черные?
2. Набирая номер телефона, абонент забыл последних 2 цифры и, помня лишь, что они различны, набрал номер наудачу. Найти вероятность того, что цифры набраны верно.
3. В вычислительной лаборатории 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время работы не выйдет из строя автомат,— 0,95, полуавтомат – 0,8. Студент производит расчет на произвольно выбранной машине. Какова вероятность того, что машина до конца работы не выйдет из строя?
4. На отрезке [0; 3] выбирают 2 точки x и y. Найти вероятность того, что сумма x+y будет меньше 5, и больше 1.
5. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя бы один окажется неоплаченным.
6. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90%. Какова вероятность того, что из 7-ми посеянных семян взойдет 5?
7. В ящике содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в ящик. Каково наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?
8. Составить функцию распределения для дискретной случайной величины c — числа появления события А при 4-х независимых испытаниях, если вероятность появления каждого события Р=.
9. Найти F(c) и вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0,), если

 

                                            

 

10. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону со следующими параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,75 км, но не более 16,3 км.

 

 

Вариант 4

 

1. Каждая из букв Т, М, Р, О, Ш написана на одной из пяти карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «ШТОРМ»?
2. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти вероятность выиграть не менее двух партий из четырех.
3. Десять студентов условились ехать определенным электропоездом, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другими, если в составе электропоезда 10 вагонов? Предполагается, что все возможности распределения студентов по вагонам равновероятны.
4. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов.
5. Студент ищет нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что она находится в первом, —0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что она содержится хотя бы в одном справочнике.
6. Вероятность того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах, соотносится как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в перечисленных устройствах соответственно 0,8;0,9;0,9. Найти вероятность того, что возникший сбой в машине будет обнаружен.
7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?
8. По данному закону распределения случайной величины c:

 

c	1	4	8
р	0,3	0,1	0,6

 

найти F(c)  и построить ее график. Вычислить  М(c), D(c).

9. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины c

 

                                             

Найти интегральную функцию F(c).

10. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 164 см, а среднеквадратичное отклонение 5,5 см. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что ни одна из пяти наудачу выбранных женщин не будет иметь рост более 160 см.

Вариант 5

 

1. Из букв разрезной азбуки составлено слово «РЕМОНТ». Карточки перемешиваются, и из них наудачу выбирают 4. Какова вероятность того, что получится слово «МОРЕ»?
2. В круг радиуса 12 помещен меньший круг  радиуса 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг.
3. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие — высшего сорта, составляет 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два – высшего сорта.
4. Найти вероятность того, что в 6-ти независимых испытаниях событие А появится не реже трех раз, если вероятность его появления в одном испытании равна 0,2.
5. На двух автоматах штампуют одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше второго. Первый производит в среднем 70% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она сделана вторым автоматом.
6. Какова вероятность того, что взятый наудачу год содержит 53 воскресенья, если этот год: а) не високосный, б) високосный?
7. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти наивероятнейшее число бракованных среди 1000 деталей и вероятность такого количества их в партии.
8. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины c: , заданной законом распределения

 

c	4,3	5,1	10,6
р	0,2	0,3	0,5

 

9. Непрерывная случайная величина c имеет функцию распределения

                                         

Найти величины , f(c), M(c), D(c) и вероятность того, что случайная величина c примет значения в интервале (;1). Является ли f(c) непрерывной функцией?

10. Детали, выпускаемые цехом, исходя из диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 5 см; дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.